נוסחת קרמר ויישומה

נוסחת קרמר - היא אחת השיטות המדויקות לפתרון מערכות של משוואות אלגבריות ליניאריות (סלו). הדיוק שלה עקב שימוש מכתיבי מטריקס המערכת, כמו גם כמה מן המגבלות שהוטלו ההוכחה של המשפט.

מערכת של משוואות אלגבריות ליניאריות עם מקדמים שייכים, למשל, ריבוי של R - מספרים אמיתיים נעלם x1, x2, ..., xn היא אוסף של ביטויים

ai2 X1 + ai2 x2 + ... Ain xn = BI עם i = 1, 2, ..., m, (1)

איפה aij, דו - מספרים אמיתיים. כל הביטויים הללו נקרא משוואה ליניארית, aij - מקדמת של הנעלמים, דו - מקדם עצמאי של משוואות.

פתרון של (1) התייחס וקטור n מימדי x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), שבו החלפה למערכת עבור אלמונים x1, x2, ..., xn, כל אחד מקווי במערכת הופך המשוואה הטובה ביותר .

המערכת נקראת עקבית אם יש לו לפחות פתרון אחד, ובלתי עקבית, אם זה עולה בקנה אחד עם סט הפתרון של הקבוצה הריקה.

יש לזכור כי על מנת למצוא פתרונות למערכות של משוואות ליניאריות באמצעות השיטה של קריימר, מערכות מטריקס צריכים להיות מרובעים, אשר בעצם אומר אותו המספר נעלם ומשוואות במערכת.

אז, כדי להשתמש בשיטה של קריימר, אתה חייב לפחות לדעת מה מטריקס היא מערכת של משוואות ליניאריות אלגבריים, והוא הוציא. ושנית, כדי להבין מה נקרא הקובע של המטריצה ומיומנויות משלו חישוב.

הבה נניח כי הידע הזה שאתה מחזיק. נפלא! ואז אתה צריך רק לשנן נוסחאות לקביעת שיטת קרמר. כדי לפשט שינון להשתמש בסימון הבא:

• Det - הקובע העיקרי של המטריצה של המערכת;

• Deti - הוא הקובע של מטריצה המתקבל מטריקס העיקרי של המערכת על ידי החלפת העמודה i-ה של המטריצה כדי וקטור עמודה אלמנטים אשר הם הימניים של משוואות אלגבריות ליניאריות;

• n - מספר הנעלמים ומשוואות במערכת.

ואז חישוב נוסחת קרמר i-ה xi רכיב (i = 1, .. n) n-ממדי x וקטור יכול להיות כפי שנכתב

xi = Deti / Det, (2).

במקרה זה, Det שונה בתכלית מאפס.

ייחודה של הפתרון של מערכת כשזה מסופק במשותף על ידי מצב אי השוויון של הקובע העיקרי של מערכת לאפס. אחרת, אם הסכום (xi), בריבוע, חיובי בהחלט, אז SLAE מטריצה ריבועית היא מעשית. זה יכול להתרחש בפרט כאשר לפחות אחד אפס Deti.

דוגמא 1. כדי לפתור את מערכת תלת ממדי לאו באמצעות הנוסחה של קריימר.
2 X1 + X2 + X3 = 31 4,
5 X1 + X2 + X3 = 2 29,
3 X1 - x2 + x3 = 10.

החלטה. אנחנו כותבים את המטריצה של קו המערכת על ידי קו, שבו Ai - הוא בשורת i-ה של מטריקס.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
= B מקדמי טור חינם (31 29 באוקטובר).

המערכת העיקרית היא הגורם המכריע Det
Det = A11 A22 A33 + A12 A23 A31 + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

כדי לחשב את תמורת det1 באמצעות A11 = B1, B2 A21 =, A31 = B3. אז
det1 = B1 A22 A33 + A12 A23 B3 + A31 B2 A32 - A13 A22 B3 - B1 A32 A23 - A33 B2 A12 = ... = -81.

באופן דומה, כדי לחשב det2 החלפה השימוש A12 = B1, B2 A22 =, A32 = B3, ובהתאם לכך, כדי לחשב det3 - a13 = B1, B2 A23 =, A33 = B3.
אז אתה יכול לבדוק כי det2 = -108, ו det3 = - 135.
על פי נוסחאות קרמר למצוא x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x 3 = -135 / (- 27) = 5.

תשובה: x ° = (3,4,5).

בהסתמך על תחולת הכלל הזה, השיטה של קרמר לפתרון מערכות של משוואות ליניאריות ניתן להשתמש בעקיפין, למשל, לחקור את המערכת על המספר האפשרי של פתרונות בהתאם לערך של k פרמטר.

דוגמה 2. כדי לקבוע באיזה ערכים של שוויון k פרמטר | KX - y - 4 | + | x + KY + 4 | <= 0 יש בדיוק פתרון אחד.

החלטה.
שוויון זה, על ידי ההגדרה של פונקצית מודול יכול להתבצע רק אם שני הביטויים הם אפס בו זמנית. לכן, הבעיה זה מצטמצם מציאת פתרון של משוואות ליניאריות אלגבריים

KX - y = 4,
x + KY = -4.

הפתרון למערכת זו רק אם הוא הקובע העיקרי של
Det = k ^ {2} + 1 הוא אפס. ברור כי מצב זה הוא מרוצה לכל הערכים האמיתיים של k פרמטר.

תשובה: עבור כל הערכים האמיתיים של k פרמטר.

המטרות של סוג זה יכול גם להיות מופחת בעיות מעשיות רבות בתחום מתמטיקה, פיסיקה או כימיה.