בעיות נפתרות באמצעות המשוואה. פתרון בעיות במתמטיקה

במהלך הלימודים במתמטיקה יש תמיד בעיות. חלקם מאולפים במספר מעשים, אחרים דורשים קצת פאזל.

הבעיות נפתרו בעזרת המשוואה הן רק במבט ראשון קשה. אם אתם מתרגלים, אז התהליך הזה יגיע לאוטומטיזם.

צורות גיאומטריות

כדי להבין את השאלה, אתה צריך להבין את המהות. קרא בעיון את המצב, עדיף לקרוא אותו שוב ושוב. בעיות במשוואות הן רק במבט ראשון קשה. הבה ניקח דוגמה להתחלה הפשוטה ביותר.

בהתחשב מלבן, אתה צריך למצוא את השטח שלה. בהתחשב: רוחב הוא 48% קטן יותר מאשר אורך, היקף המלבן הוא 7.6 ס"מ.

פתרון בעיות במתמטיקה דורש קריאה זהירה, לוגיקה. ללא שם: בואו לטפל בו יחד. מה אתה צריך לקחת קודם כל? ציין את אורך x. לכן, במשוואה שלנו, הרוחב הוא 0.52x. אנחנו מקבלים שטח - 7.6 ס"מ. בואו למצוא חצי מד, עבור זה 7.6 ס"מ אנחנו מחלקים ב 2, הוא שווה 3.8 ס"מ. השגנו משוואה בעזרתה אנו מוצאים את אורך ורוחב:

0.52x + x = 3.8.

כאשר אנו מקבלים x (אורך), זה לא יהיה קשה למצוא 0.52x (רוחב). אם אנו מכירים את שני הכמויות הללו, אנו מוצאים את התשובה לשאלה העיקרית.

הבעיות שנפתרו בעזרת המשוואה אינן מורכבות כפי שהן נראות, נוכל להבין זאת מהדוגמה הראשונה. מצאנו את האורך x = 2.5 ס"מ, את הרוחב (אנו מייעד y) 0.52x = 1.3 ס"מ. אנחנו עוברים לכיכר. הוא נמצא מן הנוסחה פשוטה S = x * y (עבור מלבנים). בבעיה שלנו, S = 3.25. זו תהיה התשובה.

הבה נבחן כמה דוגמאות לפתרון בעיות במציאת שטח. והפעם אנחנו לוקחים מלבן. פתרון בעיות במתמטיקה על מציאת ההיקף, את השטח של דמויות שונות היא לעתים קרובות למדי. אנו קוראים את מצב הבעיה: מלבן נתון, אורכו גדול מ -3.6 ס"מ מהרוחב, שהוא 1/7 מהיקף הדמות. מצא את האזור של מלבן זה.

זה יהיה נוח לציין את רוחב המשתנה x, ואת אורך של ( x + 3.6) סנטימטר. בואו נמצא את המערכת:

P = 2x + 3.6 .

אנחנו לא יכולים לפתור את המשוואה, שכן יש לנו שני משתנים בה. לכן אנחנו מסתכלים שוב על המצב. זה אומר כי רוחב הוא 1/7 של המערכת. אנו משיגים את המשוואה:

1/7 (2x + 3.6) = x .

לנוחות הפתרון, להכפיל כל חלק של המשוואה על ידי 7, אז אנחנו להיפטר השבר:

2x + 3.6 = 7x.

לאחר הפתרון, אנחנו מקבלים x (רוחב) = 0.72 ס"מ. לדעת את רוחב, אנו מוצאים את אורך:

0.72 + 3.6 = 4.32 ס"מ.

עכשיו אנחנו יודעים את אורך ורוחב, לענות על השאלה העיקרית על מה שווה באזור המלבן.

S = x * y , S = 3,1104 ס"מ.

צינורות עם חלב

פתרון בעיות בעזרת משוואות גורם לקשיים רבים לתלמידי בית הספר, למרות שהנושא מתחיל בכיתה ד '. ישנן דוגמאות רבות, הסתכלנו על מציאת השטח של הדמויות, עכשיו קצת מוסחת מן הגיאומטריה. בואו נסתכל על משימות פשוטות עם טבלאות, הם עוזרים חזותית: כך הנתונים המסייעים בפתרון נראה טוב יותר.

הזמן את הילדים לקרוא את מצב הבעיה וליצור טבלה שתסייע לך לחבר את המשוואה. הנה המצב: יש שתי פחיות, בשלוש פעמים הראשון חלב יותר מאשר השני. אם הראשון לשפוך חמישה ליטר לתוך השני, החלב יהיה מחולק באופן שווה. שאלה: כמה חלב היה בכל אחד מהם?

כדי לעזור עם הפתרון, אתה צריך ליצור טבלה. איך זה נראה?

הפתרון

	זה היה	ללא שם: הפך
אני יכולה	3x	3x5
2 פחיות	X	X + 5

איך זה יעזור בניסוח המשוואה? אנו יודעים כי כתוצאה החלב הפך שווה, כך המשוואה ייראה כך:

3x-5 = x + 5;

2x = 10;

X = 5.

מצאנו את הכמות הראשונית של חלב בפחית השנייה, כלומר, הראשון היה: 5 * 3 = 15 ליטר חלב.

עכשיו קצת הסבר על אוסף השולחן.

למה אנחנו מייחסים את הראשון יכול עבור 3x: בתנאי זה נקבע כי תותח חלב השני הוא שלוש פעמים פחות. לאחר מכן קראנו כי 5 ליטר היו מרוקנים מן המכל הראשון, ולכן זה הפך 3x-5 , ובשנייה הם שפכו: x + 5 . מדוע השווינו את התנאים הללו? במצב של המשימה נאמר כי החלב הפך שווה.

אז אנחנו מקבלים את התשובה: התותח הראשון הוא 15 ליטר, השני - 5 ליטר חלב.

קביעת עומק

לפי מצב הבעיה: עומק הבאר הראשון הוא 3.4 מטרים יותר מאשר השני. הבאר הראשונה הוגדלה ב -21.6 מטר, והשניה - שלוש פעמים, לאחר פעולות אלו יש לארות את אותו עומק. יש צורך לחשב מה עומק כל טוב היה במקור.

שיטות לפתרון בעיות הן רבות, אפשר לעשות פעולות, ליצור משוואות או המערכת שלהם, אבל האפשרות השנייה היא הנוחה ביותר. כדי לעבור לפתרון, אנו יוצרים טבלה, כמו בדוגמה הקודמת.

הפתרון

	זה היה	ללא שם: הפך
1 טוב	X + 3.4	X + 3.4 + 21.6
2 בארות	X	3x

כעת אנו פונים לניסוח המשוואה. מאז הבארות הן של אותו עומק, יש לה את הטופס הבא:

X + 3.4 + 21.6 = 3x;

X = 3x = -25;

-2x = -25;

X = -25 / -2;

X = 12.5

מצאנו את העומק המקורי של הבאר השני, עכשיו אנחנו יכולים למצוא את הראשון:

12.5 + 3.4 = 15.9 מ '.

לאחר ביצוע הפעולות, אנו רושמים את התשובה: 15.9 מ ', 12.5 מ'.

שני אחים

שים לב כי משימה זו שונה מכל הקודם, כי לפי המצב בתחילה היה מספר זהה של אובייקטים. מכאן, שולחן העזר מתואר בסדר הפוך, כלומר, מ "זה הפך" ל "היה".

תנאי: שני אחים קיבלו מספר שווה של אגוזים, אבל הבכור נתן את אחיו 10, לאחר מכן את האגוזים של הצעיר הפך גדול פי חמישה. כמה אגוזים יש לכל ילד?

הפתרון

	זה היה	ללא שם: הפך
בכיר	Х + 10	X
צעיר יותר	5x - 10	5x

אנו יוצרים את המשוואה:

X + 10 = 5x - 10;

-4 x = -20;

Х = 5 - זה הפך אגוזים אחיו הבכור;

5 * 5 = 25 - האח הצעיר.

עכשיו אתה יכול לרשום את התשובה: 5 אגוזים; 25 אגוזים.

קניות

בית הספר צריך לקנות ספרים ומחברות, הראשון יקר יותר מאשר השני ב 4.8 רובל. אתה צריך לחשב כמה מחברת אחת עלות ספר אחד, אם קנית את אותה כמות של כסף עם חמישה ספרים עשרים ואחד המחברות.

לפני שתמשיך לפתרון, כדאי לענות על השאלות הבאות:

• מה הבעיה בבעיה?
• כמה שילמו?
• מה קנית?
• אילו ערכים ניתן ליישר?
• מה אתה צריך לדעת?
• מהו הערך של x ?

אם ענית על כל השאלות, אז אנחנו פונים לפתרון. בדוגמה זו, הערך של x יכול להילקח במחיר של מחברת אחת, ואת העלות של הספר. הבה נבחן שתי גרסאות אפשריות:

1. X היא העלות של מחברת אחת, ולאחר מכן x + 4.8 הוא המחיר של הספר. בהמשך לכך, אנו משיגים את המשוואה: 21x = S (x + 4.8).
2. X היא העלות של הספר, אז x הוא 4.8 הוא המחיר של המחברת. למשוואה יש את הטופס: 21 (x - 4.8) = 5x.

אתה יכול לבחור אפשרות נוחה יותר עבור עצמך, ולאחר מכן לפתור שתי משוואות ולהשוות את התשובות, הם צריכים לחפוף כתוצאה מכך.

הדרך הראשונה

הפתרון של המשוואה הראשונה:

21x = 5 (x + 4.8);

4,2х = х + 4,8;

4,2х - ף = 4,8;

3,2х = 4,8;

Х = 1,5 (רובל) - עלות של מחברת אחת;

4.8 + 1.5 = 6.3 (רובל) - עלות ספר אחד.

דרך נוספת לפתור את המשוואה הזאת (סוגריים פתוחים):

21x = 5 (x + 4.8);

21x = 5x + 24;

16x = 24;

Х = 1,5 (רובל) - עלות של מחברת אחת ;

1,5 + 4,8 = 6,3 (רובל) - העלות של ספר אחד.

הדרך השנייה

5x = 21 (x = 4.8);

5x = 21x - 100.8;

16x = 100.8;

Х = 6,3 (רובל) - עלות של 1 ספר;

6.3 - 4.8 = 1.5 (רובל) - העלות של מחברת אחת.

כפי שניתן לראות מן הדוגמאות, התשובות זהים, ומכאן, הבעיה נפתרת כראוי. תראו את נכונות הפתרון, בדוגמה שלנו, התשובות לא צריך להיות שלילי.

ישנן בעיות אחרות שניתן לפתור בעזרת משוואה, למשל, על תנועה. הבה נבחן אותם בפירוט רב יותר בדוגמאות הבאות.

שתי מכוניות

בפרק זה נדון במשימות התנועה. כדי להיות מסוגל לפתור אותם, אתה צריך לדעת את הכלל הבא:

S = V * T,

S הוא המרחק, V הוא המהירות, ו- T הוא הזמן.

בואו ננסה לחשוב על דוגמה.

שתי מכוניות יצאו בו זמנית מנקודה א 'לנקודה ב'. הראשון נסע כל המרחק באותה מהירות, במחצית השנייה של הכביש נסע במהירות של 24 קמ"ש, והשני - 16 קמ / שעה. יש צורך לקבוע את המהירות של הנהג הראשון, אם בנקודה ב הם באו בו זמנית.

מה שאנחנו צריכים כדי לחבר את המשוואה: המשתנה הראשי V ₁ (מהירות של המכונית הראשונה), משני: S- מסלול, T ₁ - הפעם בנתיב של המכונית הראשונה. משוואה: S = V ₁ * T _{1 .}

הבא: המכונית השנייה במחצית הראשונה של הדרך (S / 2) נסע במהירות של V ₂ = 24 קמ"ש. אנו מקבלים את הביטוי: S / 2 = 24 * T _{2 .}

החלק הבא של הדרך בה הוא נסע במהירות V ₃ = 16 קמ"ש. אנו מקבלים S / 2 = 16 * T ₃ .

עוד מן המצב ברור כי המכוניות הגיעו באותו זמן, ומכאן T ₁ = T ₂ + T ₃ . עכשיו אנחנו צריכים להביע את המשתנים T ₁ , T ₂ , T ₃ מהתנאים הקודמים שלנו. אנו משיגים את המשוואה: S / V ₁ = (S / 48) + (S / 32).

S הוא נלקח כאחדות ואנחנו לפתור את המשוואה:

1 / V ₁ = 1/48 + 1/32;

1 / V ₁ = (2/96) + (3/96);

1 / V ₁ = 5/96;

V ₁ = 96/5;

V ₁ = 19.2 קמ / שעה.

זו התשובה. בעיות נפתרות באמצעות המשוואה מורכבות רק במבט ראשון. בנוסף לאמור לעיל, אתה יכול לפגוש משימות עבודה, מה זה, שקול בסעיף הבא.

אתגר עבודה

כדי לפתור סוג זה של המשימה, אתה צריך לדעת את הנוסחה:

A = VT ,

איפה A הוא העבודה, V הוא פרודוקטיביות.

לקבלת תיאור מפורט יותר, אתה צריך לתת דוגמה. הנושא "פתרון בעיות על ידי משוואה" (כיתה 6) עשוי שלא להכיל בעיות כאלה, שכן זו רמה מורכבת יותר, אבל בכל זאת אנחנו נותנים דוגמה להיכרות.

קרא בעיון את המצב: שני עובדים עובדים יחד ומתכננים להופיע במשך 12 יום. יש לקבוע כמה זמן ייקח העובד הראשון להגשים את הנורמה עצמה. זה ידוע כי הוא מבצע את כמות העבודה במשך יומיים כעובד השני בתוך שלושה ימים.

פתרון בעיות עבור ניסוח של משוואות דורש קריאה זהירה של המצב. הדבר הראשון שהבנו מן המשימה, כי העבודה אינה מוגדרת, כלומר, אנחנו לוקחים את זה כיחידה, כלומר, = 1 . אם הבעיה מתייחסת למספר מסוים של חלקים או ליטר, אז העבודה צריכה להילקח מתוך נתונים אלה.

אנו מציינים את הפרודוקטיביות של העובדים הראשון והשני באמצעות V ₁ ו - V2 _, בהתאמה, בשלב זה, המשוואה הבאה אפשרית:

1 = 12 (V ₁ + V ₂ ) .

מה משוואה זו מספרת לנו? כי כל העבודה נעשית על ידי שני אנשים בתוך שתים עשרה שעות.

יתר על כן אנו יכולים המדינה: 2V ₁ = 3V ₂ . כי הראשון במשך יומיים עושה כמו השני ב 3. השגנו מערכת של משוואות:

1 = 12 (V1 + V2);

2V ₁ = 3V _2.

על בסיס הפתרון של המערכת, השגנו משוואה עם משתנה אחד:

1 - 8V ₁ = 12V _1;

V ₁ = 1/20 = 0.05.

זוהי פריון העבודה של העובד הראשון. עכשיו אנחנו יכולים למצוא את הזמן שבו האדם הראשון יהיה להתמודד עם כל העבודה:

A = V ₁ * T _1;

1 = 0.05 * T ₁ ;

T ₁ = 20.

מאז היום נלקח כיחידת הזמן, התשובה היא: 20 ימים.

רפורמה של הבעיה

אם אתה שולט במיומנות לפתור בעיות תנועה, ויש לך כמה קשיים עם משימות לעבודה, אז זה אפשרי לקבל תנועה מעבודה. באיזה מובן? אם ניקח את הדוגמה האחרונה, המצב הוא כדלקמן: אולג ודימה לנוע זה אל זה, הם נפגשים 12 שעות. כמה אנשים ישתלטו על השביל באופן עצמאי, אולג, אם יידע שעוד שעתיים הוא נוסע בדרך שווה לדרך של דימה בתוך שלוש שעות.