הסימן הראשון לשוויון המשולשים. הסימנים השני והשלישי של השוויון של משולשים

בין מספר עצום של מצולעים, אשר למעשה הם סגורים שאינם חתכים קו שבור, המשולש הוא הדמות עם מספר הזוויות לפחות. במילים אחרות, זהו המצולע הפשוט ביותר. אבל למרות כל הפשטות שלו, נתון זה מכיל הרבה תעלומות ותגליות מעניינות, אשר מכוסים על ידי סעיף מיוחד של מתמטיקה - גיאומטריה. דיסציפלינה זו נלמדת בבתי הספר מאז כיתה ז ', והנושא "משולש" זוכה לתשומת לב מיוחדת כאן. ילדים לא רק ללמוד את הכללים על הדמות עצמה, אלא גם להשוות אותם, לומד 1, 2 ו 3 סימנים של שוויון משולשים.

היכרות ראשונה

אחד הכללים הראשונים שבהם מכירים התלמידים, נשמע כך: סכום הגודל של כל זוויות המשולש הוא 180 מעלות. כדי לאשר זאת, זה מספיק כדי למדוד כל קודקוד בעזרת מד זוית ולהוסיף את כל הערכים שהתקבלו. בהליך זה, עבור שני כמויות ידוע קל לקבוע את השלישי. לדוגמה : במשולש, אחת הזוויות היא 70 °, והשנייה - 85 °, מה הערך של הזווית השלישית?

180 - 85 - 70 = 25.

תשובה: 25 °.

בעיות יכול להיות מסובך יותר אם רק ערך אחד של הזווית שצוין, ואת הערך השני אומר רק כמה או כמה פעמים זה יותר או פחות.

במשולש, כדי לקבוע את כל התכונות שלו, קווים מיוחדים ניתן לצייר, לכל אחד מהם יש שם משלה:

• גובה - קו אנכי משורטט מלמעלה אל הצד הנגדי;
• כל שלושת הגבהים המוחזקים בו זמנית במרכז הדמות מצטלבים, ויוצרים מרכז אורטוצנטר, אשר, בהתאם לסוג המשולש, יכול להיות הן בתוך והן מבחוץ;
• חציון - הקו המחבר את קודקוד עם באמצע של הצד הנגדי;
• הצומת של החציונים היא נקודת הכובד, היא בתוך הדמות;
• ביסקטריקס הוא קו העובר מקודקוד לנקודת החיתוך עם הצד הנגדי, נקודת החיתוך של שלושת הביסקטורים היא מרכז המעגל הקדוש.

אמיתות פשוטות על משולשים

משולשים, כמו, אכן, כל הדמויות, יש מאפיינים משלהם נכסים. כפי שכבר צוין, נתון זה הוא המצולע הפשוט ביותר, אך עם המאפיינים האופייניים לו:

• על הצד הארוך ביותר יש תמיד זווית עם ערך גדול יותר, ולהיפך;
• זוויות שוות שוות על צדדים שווים, משולש משקפיים הוא דוגמה;
• סכום הזוויות הפנימיות הוא תמיד 180 °, אשר כבר הוכיח את הדוגמה;
• כאשר צד אחד של המשולש מורחב מעבר לגבולותיו, נוצרת זווית חיצונית, שתמיד תהיה שווה לסכום הזוויות שאינן צמודות אליו;
• כל אחד מהצדדים הוא תמיד פחות מסכום של שני הצדדים האחרים, אבל יותר מאשר ההבדל שלהם.

סוגי משולשים

השלב הבא של ההיכרות הוא לקבוע את הקבוצה שאליה שייך המשולש המיוצג. השייכות לצורה זו או אחרת תלויה בזוויות המשולש.

• שווה - עם שני צדדים שווים, אשר נקראים לרוחב, השלישי במקרה זה משמש בסיס של הדמות. הזוויות בבסיס משולש כזה הן זהות, והחציון הנמשך מהראש הוא bisectrix והגובה.
• משולש רגיל או שווה צלעות הוא אחד עם כל הצדדים שלו שווה.
• מלבני: אחד הזוויות שלו הוא 90 °. במקרה זה, הצד שממול הפינה נקרא hypotenuse, ושני האחרים נקראים הרגליים.
• משולש חד - כל הזוויות הן פחות מ -90 מעלות.
• זווית-זווית - אחת הזוויות גדולה מ -90 מעלות.

שוויון ודמיון משולשים

בתהליך של למידה, לא רק לשקול דמות אחת, אלא גם להשוות שני משולשים. וזה נושא פשוט לכאורה יש הרבה חוקים ו משפטים בהם ניתן להוכיח כי הנתונים הנמצאים בחשבון הם משולשים שווים. סימנים של שוויון משולשים יש את ההגדרה הבאה: משולשים שווים אם הצדדים שלהם ואת זוויות זהים. עם השוויון הזה, אם תניח את שתי הדמויות הללו זו על זו, כל השורות שלהן יתכנסו. כמו כן, הנתונים יכולים להיות דומים, בפרט, הוא נוגע כמעט דמויות זהות, שונה רק בגודל. על מנת להגיע למסקנה כזו לגבי המשולשים המיוצגים, יש לעמוד על אחד התנאים הבאים:

• שתי פינות של דמות אחת שוות לשני זוויות של האחר;
• שני הצדדים של אחד הם פרופורציונליים לשני הצדדים של המשולש השני, ואת הזוויות שנוצרו על ידי הצדדים שווים;
• שלושת הצדדים של הדמות השנייה הם כמו הראשון.

כמובן, עבור שוויון שאין לערער עליו, אשר לא יגרום ספק קל, יש צורך לקבל את אותם ערכים עבור כל האלמנטים של שני הדמויות, אבל באמצעות משפטי הבעיה היא פשוטה מאוד, ורק כמה תנאים מותר להוכיח את השוויון של המשולשים.

הסימן הראשון לשוויון המשולשים

הבעיות בנושא זה נפתרות על בסיס ההוכחה של המשפט, אשר אומר: "אם שני הצדדים של המשולש ואת הזווית שהם יוצרים שווים לשני הצדדים ואת הפינה של המשולש השני, אז הדמויות הן גם שוות".

איך ההוכחה של המשפט עבור הסימן הראשון של השוויון של משולשים נשמע? כולם יודעים כי שני מקטעים שווים אם הם באותו אורך או מעגלים שווים אם יש להם את הרדיוס אותו. ובמקרה של משולשים, יש כמה סימנים, שיש להם, ניתן להניח כי הנתונים זהים, וזה מאוד נוח לפתרון בעיות גיאומטריות שונות.

איך את המשפט "הסימן הראשון של השוויון משולשים" נשמע, מתואר לעיל, אבל ההוכחה שלה:

• נניח משולשים ABC ו A ₁ B ₁ C ₁ יש את אותם הצדדים AB ו- A ₁ ב ₁ ו, בהתאמה, BC ו B ₁ C ₁ , ואת הזוויות שנוצרו על ידי הצדדים האלה יש את אותו ערך, כלומר, הם שווים. לאחר מכן, החלת ABC △ A ₁ B ₁ C _1, אנו מקבלים את צירוף המקרים של כל הקווים ואת הקודקודים. מכאן נובע כי משולשים אלה זהים לחלוטין, ולכן הם שווים זה לזה.

משפט "הסימן הראשון לשוויון של משולשים" נקרא גם "משני צדדים ופינה". למעשה, זו המהות שלה.

משפט אפיון שני

הסימן השני לשוויון הוכח באופן דומה, ההוכחה מבוססת על העובדה שכאשר הדמויות מונחות זו על גבי זו הן חופפות לחלוטין את כל הקודקודים והצדדים. והמשפט נשמע כך: "אם צד אחד ושתי זוויות במבנה שבו הוא משתתף מתאימות לצד ולשתי זוויות של המשולש השני, אז הדמויות הללו זהות, כלומר, שוות".

סימן שלישי והוכחה

אם הן 2 ו 1 של השוויון של המשולשים נגע בשני הצדדים ואת הפינות של הדמות, אז השלישי מתייחס רק לצדדים. לכן, למשפט יש את הנוסח הבא: "אם כל הצדדים במשולש אחד שווים לשלושה צדדים של המשולש השני, אז הדמויות זהות".

כדי להוכיח את המשפט הזה, אנחנו צריכים להיכנס יותר פירוט בהגדרה מאוד של שוויון. למעשה, מה משמעות הביטוי "משולשים שווים"? הזהות פירושה שאם תניחו דמות אחת על דמות אחרת, כל האלמנטים שלהם יתחברו, זה יכול להיות רק אם הצדדים והזוויות שלהם שווים. בה בעת, הזווית מול אחד הצדדים, שהיא זהה לזו של המשולש האחר, תהיה שווה לקודקוד המקביל של הדמות השנייה. יש לציין כי בשלב זה את ההוכחה יכול בקלות להיות מתורגם 1 סימן השוויון של משולשים. אם רצף כזה לא נצפה, השוויון של המשולשים הוא פשוט בלתי אפשרי, אלא כאשר הדמות היא תמונת ראי של הראשון.

משולשים מלבניים

במבנה של משולשים כאלה, יש תמיד קודקודים עם זווית של 90 מעלות. לכן, הטענות הבאות נכונות:

• משולשים עם זווית ישרה שווים אם הרגליים של אחד זהים לרגליים של השני;
• דמויות שוות אם hypotenuse שלהם ואת אחת הרגליים שוות;
• משולשים כאלה שווים אם הרגליים והזווית החדה שלהם זהים.

תכונה זו מתייחסת משולשים מלבניים. כדי להוכיח את המשפט ליישם את היישום של דמויות זה לזה, וכתוצאה מכך משולשים מקופלים על ידי הרגליים כך משני קווים ישרים יש זווית נפרש עם הצדדים CA ו CA ₁ .

יישום מעשי

ברוב המקרים, בפועל, סימן ראשון של שוויון משולשים מוחל. למעשה, נושא זה פשוט לכאורה של המעמד השביעי בגיאומטריה ו planimetry משמש גם כדי לחשב את אורך, למשל, של כבל הטלפון מבלי למדוד את השטח שעליו הוא יעבור. בעזרת משפט זה, קל לעשות את החישובים הדרושים כדי לקבוע את אורך האי באמצע הנהר, לא לחצות אותו. או לחזק את הגדר על ידי הצבת הבר בטווח כך שהוא מחלק אותו לשני משולשים שווים, או לחשב אלמנטים מורכבים של עבודת נגרות, או בעת חישוב מערכת מסבך הגג במהלך הבנייה.

הסימן הראשון של שוויון משולשים יש יישום רחב בחיים "מבוגר" אמיתי. אמנם בבית הספר שנים זה נושא זה עבור רבים נראה משעמם לחלוטין מיותר.