המשוואה של המטוס: איך לעשות? סוגי משוואות מטוס

חלל המטוס ניתן להגדיר בדרכים שונות (נקודה אחת וקטור, הווקטור ואת שתי נקודות, שלוש נקודות, וכו '). זה עם זה בחשבון, משוואת המטוס יכולה לקבל סוגים שונים. כמו כן בתנאים מסוימים מטוס עשוי להיות מקביל, מאונך, מצטלב, וכו ' ביום הזה ידבר במאמר זה. נלמד להפוך את המשוואה הכללית של המטוס ולא רק.

הצורה הרגילה של המשוואה

R יניח הוא שטח _3, אשר יש מלבני מערכת קואורדינטות XYZ. אנו מגדירים α וקטור, אשר ישוחררו מנקודת ההתחלה O. דרך סוף α וקטור לצייר P המטוס שבו הוא הניצב לו.

נסמן P במכירה = Q נקודה שרירותית (x, y, z). וקטור רדיוס p מכתב סימן שאלה נקודה. אורכו של וקטור שווה p α = IαI ו Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

וקטור יחידה זו, אשר מופנית לכיוון כמו α וקטור. α, β ו- γ - הזוויות הנוצרות בין וקטור לבין כיוונים חיוביים Ʋ x צירים בחלל, y, z בהתאמה. ההיטל של נקודה על וקטור QεP Ʋ הוא קבוע אשר שווה p (p, Ʋ) = p (r≥0).

המשוואה לעיל הנה משמעותית כאשר p = 0. מטוס n רק במקרה הזה, היה לחצות נקודת O (α = 0), המהווה את המקור, ואת Ʋ וקטור יחיד, שוחררה מן O הנקודה יהיה בניצב P, אם כי הכיוון שלה, מה שאומר כי Ʋ הווקטור נקבע עד לסימן. המשוואה הקודמת P המטוס שלנו, שבאה לידי ביטוי בצורה וקטורית. אבל לאור הקואורדינטות שלה הוא:

P הוא גדול או שווה ל -0 מצאנו משוואת המטוס בצורה נורמלית.

המשוואה הכללית

אם המשוואה של קואורדינטות להכפיל כל מספר כי הוא לא שווה לאפס, נקבל את המקבילה המשוואה לכך המגדיר את המישור מאוד. זה יהיה בצורה הבאה:

הנה, A, B, C - הוא המספר בו זמני השונה מאפס. משוואה זו נקראת המשוואה של הצורה הכללית של המטוס.

המשוואות של המטוסים. במקרים מיוחדים

המשוואה ניתן לשנות בדרך כלל עם תנאים נוספים. קחו חלק מהם.

תניח כי המקדם הוא 0. זה מצביע כי במקביל המטוס אל שור ציר הקבוע מראש. במקרה זה, בצורה של המשוואה משתנה: וו + Cz + D = 0.

באופן דומה, בצורה של משוואה ואת תשתנה בהתאם לתנאים הבאים:

• ראשית, אם B = 0, השינויים המשוואה כדי Ax + Cz + D = 0, דבר המצביע על כך ההקבלה אל אוי ציר.
• שנית, אם C = 0, המשוואה הופכת Ax + By + D = 0, כלומר כ מקביל לציר קבוע מראש עוז.
• שלישית, אם D = 0, המשוואה תופיע כמו הגרזן + By + Cz = 0, שמשמעותה כי המטוס מצטלב O (המקור).
• רביעית, אם A = B = 0, שינויי המשוואה כדי Cz + D = 0, אשר יוכיחו כדי הקבלת Oxy.
• חמישית, אם B = C = 0, המשוואה הופכת Ax + D = 0, מה שאומר כי המטוס הוא מקביל Oyz.
• ששית, אם A = C = 0, המשוואה לובשת צורה וו + D = 0, דהיינו, ידווח Oxz ההקבלה.

טופס של המשוואה בפלחים

במקרה שבו מספרי A, B, C, D שונה מאפס, בצורה של משוואה (0) עשוי להיות כדלקמן:

x / a + y / b + z / c = 1,

שבה a = -D / A, B = -D / B, C = -D / ג

אנו מקבלים כמשוואה תוצאה של המטוס בחתיכות. יצויין כי המטוס הזה יחתוך את ציר x בנקודה עם קואורדינטות (א, 0,0), אוי - (0, b, 0), ואת עוז - (0,0, ים).

בהינתן משוואת x / a + y / b + z / c = 1, זה לא קשה לדמיין את יחסי מטוס שמה למערכת לתאם מראש.

הקואורדינטות של וקטור נורמלי

ה- N וקטור נורמלי אל P המטוס יש קואורדינטות כי הם המקדמים של המשוואה הכללית של המטוס, n למשל (A, B, C).

על מנת לקבוע את הקואורדינטות של n הנורמלי, זה מספיק כדי לדעת את המשוואה הכללית נתון מטוס.

בעת שימוש במשוואה בפלחים, אשר יש לו את הטופס x / a + y / b + z / c = 1, כאשר באמצעות המשוואה הכללית ניתן לכתוב קואורדינטות של כל וקטור נורמלי מטוס נתון: (1 / a + 1 / b + 1 / ג).

יצוין כי הווקטור הנורמלי לעזור לפתור בעיות שונות. הבעיות הנפוצות ביותר הן מורכב במטוסים בניצב או מקבילים הוכחה, המשימה של מציאת הזוויות בין המטוסים או הזוויות בין מטוסי קווים ישרים.

הקלד פי משוואת המטוס ואת הקואורדינטות של וקטור הנקודה הנורמלי

A n וקטור שונה מאפס, בניצב למישור נתון, שנקרא נורמלי (נורמלי) למישור מראש.

נניח כי במרחב לתאם (א מלבני מערכת הקואורדינטות) Oxyz להגדיר:

• נקודת Mₒ עם קואורדינטות (hₒ, uₒ, zₒ);
• אפס וקטור n = A * i + b * j + C * k.

אתה צריך לעשות משוואה של המטוס שעובר נקודת Mₒ בניצב n הנורמלי.

בחלל אנו בוחרים בכל נקודה שרירותית ו לציין M (x, y, z). תנו וקטור רדיוס של כל נקודה M (x, y, z) יהיה r = x * i + y * j + z * k, ואת וקטור רדיוס של Mₒ נקודות (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. הנקודה M יהיה שייך מטוס נתון, אם MₒM וקטור להיות בניצב n וקטור. אנחנו כותבים את מצבו של orthogonality שימוש במוצר סקלר:

[MₒM, n] = 0.

מאז MₒM = r-rₒ, משוואת הווקטור של המטוס תיראה כך:

[R - rₒ, n] = 0.

משוואה זו יכולה להיות גם צורה אחרת. לשם כך, את המאפיינים של המוצר סקלר, והמירו את הצד השמאלי של המשוואה. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. אם [rₒ, n] הוא כונה על ידי ג, נקבל את המשוואה הבאה: [r, n] - = 0 או [R, n] c =, המבטא את יציבותה של התחזיות על הווקטור הנורמלי של וקטור הרדיוס של נקודות הציון, אשר שייך למטוס.

עכשיו אתה יכול לקבל את הקואורדינטות סוג הקלטת המטוס המשוואה וקטור שלנו [r - rₒ, n] = 0. מאחר r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, ו n = A * i + b * j + C * k, יש לנו:

מתברר כי יש לנו את המשוואה נוצרה מטוס עובר דרך הנקודה בניצב n הרגיל:

A * (x hₒ) + * B (uₒ y) * S (z-zₒ) = 0.

הקלד פי משוואת המטוס ואת הקואורדינטות של שתי נקודות של קוליניארי מטוס הווקטור

אנו מגדירים שתי נקודות M שרירותיות '(x', y 'z') ו- M "(x", y", z "), כמו גם את הווקטור (א", א", A ‴).

עכשיו אנחנו יכולים לכתוב מטוס משוואה מראש אשר עובר דרך M הנקודה קיימת "ו- M", וכל נקודה עם קואורדינטות M (x, y, z) במקביל וקטור נתון.

לפיכך וקטורים גברתי x = {x 'y-y'; ZZ '} ו- M "M = {x" -x', y 'y'; z "-Z "} צריך להיות אותו מישור עם וקטור a = (א", א " A ‴), כלומר (גברתי M" M, א) = 0.

אז המשוואה שלנו של מטוס בחלל תיראה כך:

סוג של משוואת מטוס, חוצת שלוש נקודות

נניח שיש לנו שלוש נקודות: (x 'y', z '), (x', y 'z'), (x ‴ Have ‴, z ‴), אשר אינם שייכים לאותו קו. יש צורך לכתוב משוואה של המטוס עובר דרך שלוש נקודות שצוינו. תאורית הגיאומטריה טוענת כי סוג זה של מטוס אכן קיימת, זה רק אחד והיחיד. מאז המטוס הזה מצטלב בנקודה (x "y", z "), טופס המשוואה שלה יהיה:

הנה, A, B, ו- C הם שונים מאפס בעת ובעונה אחת. כמו כן ניתן מטוס מצטלב שתי נקודות נוספות (x "y", z ") ו (x ‴, y ‴, z ‴). בהקשר הזה צריך להתבצע סוג זה של תנאים:

עכשיו אנחנו יכולים ליצור מערכת אחידה של משוואות (ליניארי) עם נעלם u, v, w:

בשנת x במקרה שלנו, y או z עומד בנקודה שרירותית אשר מספקת משוואה (1). בהתחשב משוואה (1) ומערכת של משוואות (2) ו- (3) המערכת של משוואות שניתן לראות בתרשים לעיל, וקטור העונה N (A, B, C) שהינה טריוויאלי. זה בגלל הקובע של המערכת הוא אפס.

משוואה (1) שיש לנו, זוהי המשוואה של המטוס. נקודה 3 היא באמת הולכת, ואת זה קל לבדוק. לשם כך, אנו מרחיבים את הקובע על ידי האלמנטים בשורה הראשונה. הנכסים הקיימים הקובע כדלקמן כי המטוס שלנו בו זמנית מצטלב שלוש נקודת מראש במקור (x 'y', z "), (x " y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). אז החלטנו לסדר לפנינו.

זווית dihedral בין המטוסים

זווית dihedral היא צורה גיאומטרית מרחבית שהוקמה על ידי שני חצאי מטוסים שמקורם בקו ישר. במילים אחרות, חלק מהמרחב אשר מוגבל-מטוסים וחצי.

נניח שיש לנו שני מטוס עם המשוואות הבאות:

אנו יודעים כי וקטור N = (A, B, C) N¹ = (A¹, H¹, S¹) על פי מטוסים מראש הם ניצבים. בהקשר זה, הזווית φ בין וקטורים N ו N¹ זווית שווה (dihedral), הנמצא בין המטוסים האלה. המוצר סקלר ניתן על ידי:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

דווקא בגלל

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

זה מספיק כדי לשקול כי 0≤φ≤π.

למעשה בשני מישורים שמצטלבים, טופס שני זווית (dihedral): φ ₁ ו- φ _2. הסכום שלהם שווה π (φ ₁ + φ ₂ = π). באשר cosines שלהם, הערכים המוחלטים שלהם שווים, אבל הם סימנים שונים, כלומר, cos φ ₁ = -cos φ _2. אם במשוואה (0) מוחלפת A, B ו- C של -A, -B ו -C בהתאמה, המשוואה, נקבל, תקבע אותו מישור, זווית רק φ ב φ cos המשוואה = NN ¹ / | N || N ¹ | זה יוחלף π-φ.

המשוואה של במישור הניצב

Called בניצב למישור, בין אשר הזווית היא 90 מעלות. שימוש בחומר המובא לעיל, אנו יכולים למצוא את המשוואה של מטוס בניצב האחר. נניח שיש לנו שני מטוסים: גרזן + By + Cz + D = 0, ו- + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. אנחנו יכולים לומר כי הם אורתוגונליים אם cos = 0. משמעות הדבר היא כי NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

המשוואה של מטוס מקביל

זה נקרא בשני מישורים מקבילים אשר אינם מכילים נקודות משותפות.

התנאי של מישורים מקבילים (המשוואות שלהם זהות בפסק הקודמת) הוא כי הווקטורים N ו N¹, אשר הם ניצבים בפניהם, קוליניארי. משמעות הדבר היא כי התנאים הבאים מתקיימים המידתיות:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

אם התנאים היחסים מורחבים - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

זה מצביע על כך שמטוס הנתונים של אותו. משמעות הדבר היא כי + המשוואה גרזן על ידי + Cz + D = 0 ו + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 לתאר מטוס אחד.

המרחק מנקודת המטוס

תניח שיש לנו P מטוס, אשר ניתן על ידי (0). יש צורך למצוא את המרחק מהנקודה עם קואורדינטות (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , אתה צריך להביא את המשוואה לשיפור חזות המטוס השני לעשות את זה:

(Ρ, v) = P (r≥0).

במקרה זה, ρ (x, y, z) הוא וקטור הרדיוס לנקודה שלנו, הממוקמת על p n - n הוא האורך של ניצב, אשר שוחרר מנקודת האפס, v - הוא הווקטור היחיד, אשר מסודר בכיוון א.

הבדל וקטור רדיוס ρ-ρº של לנקודת = (x, y, z), השייכים n ואת וקטור הרדיוס של נקודה נתונה ש ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) הוא וקטור כזה, הערך המוחלט של ההקרנה של אשר על v שווה את המרחק d, אשר יש צורך למצוא מ- Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) כדי P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, אבל

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, נ ) - (ρ ^0, v) = P (ρ ^0, v).

אז מסתבר,

ד = | (ρ ^0, v) p |.

עכשיו ברור כי כדי לחשב את המרחק d בין ₀ ל Q מטוס P, יש צורך להשתמש במשוואה המטוס לגירסה הרגילה, המעבר השמאלי של p, ואת המקום האחרון של x, y, z תחליף (hₒ, uₒ, zₒ).

לפיכך, אנו מוצאים את הערך המוחלט של ביטוי וכתוצאה כי נדרש ד.

בעזרת הפרמטרים של שפה, אנחנו מקבלים את המובן מאליו:

ד = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

אם Q הנקודה שצוין ₀ נמצא בצד השני של P המטוס כמו המקור, אז בין הווקטור ρ ^ρ-0 ו v הוא בזווית קהה, כך:

ד = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

במקרה כאשר הנקודה Q ₀ בשיתוף עם ממוצא הממוקם באותו צד של U, זווית חריפה נוצר, כי הוא:

ד = (ρ-ρ ^0, v) = P - (ρ ^0, v)> 0.

התוצאה היא כי במקרה לשעבר (ρ ^0, v)> p, בשנייה (ρ ^0, v)

וזה משוואת המישור המשיק שלה

לגבי המטוס אל פני השטח בנקודת Mº השקה - מטוס המכיל את כל המשיק ניתן העקום נמשך דרך נקודה על פני השטח.

עם טופס השטח הזה של המשוואה F (x, y, z) = 0 במשוואה של Mº נקודת המשיק המטוס המשיק (hº, uº, zº) יהיה:

F _x (hº, uº, zº) (x hº) + _x F (hº, uº, zº) (uº y) + _x F (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

אם פני השטח מוגדר במפורש z = f (x, y), ואז המטוס המשיק מתואר על ידי המשוואה:

z-zº = f (hº, uº) (x hº) + F (hº, uº) (y uº).

ההצטלבות של שני מטוסים

בשנת במרחב התלת-ממדי הוא מערכת קואורדינטות (מלבני) Oxyz, נתון שני מטוסי P "P" החופפים ואינם חופפים. מאז כל מטוס, אשר נמצא מלבני מערכת קואורדינטות מוגדרים על ידי המשוואה הכללית, אנו מניחים כי n "ו n "מוגדרים על ידי המשוואות A'x + V'u S'z + + D"= 0 ו- A" + B x '+ y עם "z + D" = 0. במקרה זה יש לנו n הנורמלי "(א", ב "ג") של P המטוס "ואת n הנורמלי '(א', ב 'ג') של P המטוס". כמו המטוס שלנו אינו מקביל ואינו חופף, אז וקטורים אלה אינם קוליניאריות. שימוש בשפת המתמטיקה, יש לנו מצב זה יכול להיות כפי שנכתב: n '≠ n "↔ (א', ב 'ג') ≠ (* λ ו", λ * ב "λ * C"), λεR. תן קו ישר הנמצאת בצומת P "P", יהיה מסומן על ידי האותיות A, במקרה זה = P" ∩ P".

ו - קו מורכב ריבוי נקודות (משותפים) מטוסים P" P". משמעות הדבר היא כי את הקואורדינטות של כל נקודה השייכת קו, חייב זמנית יקיימו את המשוואה A'x + V'u S'z + + D '= 0 ו- A "x + B' z + C y" + D "= 0. משמעות דבר היא כי את הקואורדינטות של הנקודה תהיינה פתרון מסוים של המשוואות הבאות:

התוצאה היא כי הפתרון (הכוללת) של מערכת זו של משוואות יקבע את הקואורדינטות של כל נקודות על הקו אשר ישמש נקודת החיתוך P" P", ולקבוע קו במערכת לתאם Oxyz (מלבני) בחלל.