סכום הזוויות של משולש. המשפט על הסכום של זוויות של משולש

המשולש הוא מצולע בעל שלוש צלעות (שלוש זוויות). לרוב, החלק מסומן על ידי אותיות קטנות המתאים באותיות גדולות, אשר מייצגות קודקודי היפך. במאמר זה אנו נסתכל סוגים אלה של צורות גיאומטריות, משפט, אשר מגדירות מה הוא שווה לסכום של זוויות של משולש.

סוגי זוויות גדולות

להלן סוגי מצולע עם שלושה קודקודים:

• אקוטי זוויתי, שבו כל הזוויות חדות;
• שיש מלבני זווית נכונה אחד, הצד להרכיב אותו, התייחס הרגליים, ואת הצד כי הוא מסולק מול הזווית הנכונה נקרא האלכסון;
• קהה כשאחד זווית הוא קהה ;
• שווה שוקיים, ששני הצדדים שווים, והם נקראים לרוחב, ואת השלישי - משולש עם בסיס;
• שווה צלעות בעל שלוש צלעות שווות.

המאפיינים

להקצות את המאפיינים הבסיסיים אופייניים לכל סוג של משולש:

• מול הצד הגדול הוא תמיד זווית גדולה יותר, ולהיפך;
• זוויות שווות מול הצד השווה בגודלו, ולהיפך;
• יש בכל משולש שתי זוויות חדות;
• זווית חיצונית יותר מכל זווית פנימית לא לכך סמוך;
• הסכום של שתי זוויות כל הוא תמיד פחות מ 180 מעלות;
• זווית חיצונית שווה לסכום שתי הפינות האחרות, אשר אינם mezhuyut איתו.

המשפט על הסכום של זוויות של משולש

המשפט קובע כי אם אתה מוסיף את כל הפינות של צורה הגיאומטרית, הנמצאת במישור אוקלידית, אז הסכום שלהם יהיה 180 מעלות. בואו ננסה להוכיח משפט זה.

תנו לנו משולש שרירותי עם הקודקודים קמן. לאורך החלק העליון של M יקיים קבלה ישירה לקו KN (אפילו קו זה נקרא אוקלידס). יצוין נקודה כך הנקודות K ו- A מסודרות בצדדים שונים של הקו MN. אנחנו מקבלים את אותה זווית של AMS ו- MUF, אשר, כמו הפנים, לשקר לרוחב כדי ליצור מצטלבים MN בשיתוף ישיר CN ו MA, אשר הם מקבילים. מכאן נובע כי סכום הזוויות של המשולש, הממוקם הקודקודים של M ו- N הוא שווה לגודל של זווית CMA. כל שלוש הזוויות מורכבות סכום השווה לסכום זוויות של KMA ו MCS. מאחר שנתוני זוויות פנימיות קווים מקבילים ביחס צדדיים CL ו CM MA ב מצטלב, שסכומם הכולל הוא 180 מעלות. זה מוכיח את המשפט.

תוצאה

אמור לעיל המשפט מעל מרמז התולדה הבאה: כל יש משולש שתי זוויות חדות. כדי להוכיח זאת, נניח כי דמות גיאומטריות הזה יש רק אחד זווית חדה. ניתן גם להניח שאף אחד הפינות אינם חדים. במקרה זה חייב להיות לפחות שתי זוויות, את הגודל שהוא שווה או גדול מ 90 מעלות. אבל אז סכום הזוויות גדול מ 180 מעלות. אבל זה לא יכול להיות, כמו על פי זוויות סכום משפט של משולש שווה 180 מעלות - לא יותר, לא פחות. זה מה שהיה צריך הוכחה.

פינות נכס מחוץ

מהו סכום הזוויות של משולש, אשר הם חיצוניים? התשובה לשאלה זו ניתן להשיג על ידי יישום באחת משתי דרכים. הראשונה היא כי אתה צריך למצוא את סכום הזוויות, אשר נלקחות אחד בכל קודקוד, כלומר, שלוש זוויות. השני מרמז כי אתה צריך למצוא את הסכום של שש הזוויות על הקודקודים. כדי להתמודד עם תחילת ההתגלמות הראשונה. לפיכך, המשולש מכיל שש פינות חיצוניות - בחלק העליון של כל אחד משני. לכל זוג זוויות שווות בין עצמם, שכן הם אנכיים:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

בנוסף, ידוע כי את הפינה החיצונית של משולש שווה לסכום של שני פנים, אשר אינם mezhuyutsya איתו. ולכן,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

מכאן נראה כי סכום הזוויות החיצוניות, אשר נלקחות אחד אחד ליד כל קודקוד יהיה שווה ל:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

בהתחשב בעובדה כי סכום הזוויות שווה 180 מעלות, ניתן לטעון כי ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. משמעות הדבר היא כי ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. אם האפשרות השנייה משמש, סכום של שש זוויות יהיה בהתאמה גדול פי שניים. כלומר סכום הזוויות של משולש מחוץ יהיה:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

משולש ישר זווית

מה שווה סכום הזוויות של משולש ישר זווית, הוא האי? התשובה היא, שוב, מן המשפט, הקובע כי הזוויות של משולש מסתכמות 180 מעלות. צליל הטענה שלנו (רכוש) כדלקמן: ב משולש ישר זוויות חדות מסתכמות 90 מעלות. אנו להוכיח אמיתות שלה. יהי קמן משולש נתון, אשר ∟N = 90 °. יש צורך להוכיח כי ∟K ∟M = + 90 °.

לפיכך, על פי המשפט על סכום הזוויות ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. במצב זה הוא אמר כי ∟N = 90 °. מתברר ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. כלומר ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. זה מה שאנחנו צריכים להוכיח.

בנוסף לתכונות הנ"ל של משולש ישר זווית, אתה יכול להוסיף בא:

• זוויות, אשר נצמדות אל הרגליים הן חדות;
• האלכסון של המשולש גדול מכל אחד הרגליים;
• סכום הרגליים יותר האלכסון;
• רגל של המשולש, הנמצא ממול לזווית של 30 מעלות, חצי האלכסון, כי הוא שווה החצי שלה.

כמו מאפיין אחר של הצורה הגיאומטרית ניתן להבחין משפט פיתגורס. היא טוענת כי בתוך משולש עם זווית של 90 מעלות (מלבני), את סכום הריבועים של הרגליים שווה לריבוע של היתר.

סכום הזוויות של משולש שווה שוקיים

מוקדם אמרנו כי משולש שווה שוקיים הוא מצולע עם שלושה קודקודים, המכיל שני הצדדים שווים. נכס זה ידוע דמות גיאומטרית: הזוויות בבסיסו שווה. תן לנו להוכיח זאת.

קח את המשולש קמן, וזה שווה שוקיים, SC - הבסיס שלה. אנו נדרשים להוכיח כי ∟K = ∟N. אז, תניח MA כי - קמן הוא החוצה של המשולש שלנו. משולש ICA עם הסימן הראשון של שוויון הוא משולש MNA. כלומר, על ידי שערה בהתחשב בעובדת CM = NM, MA היא לוואי נפוצה, ∟1 = ∟2, משום MA - חוֹצֶה זה. שימוש שוויון של שני משולשים, אפשר לטעון כי ∟K = ∟N. לפיכך, המשפט מוכח.

אבל אנחנו מעוניינים, מהו סכום הזוויות של משולש (שווה שוקיים). מכיוון ומבחינה זו אין התכונות שלו, נתחיל מן המשפט שנאמר קודם לכן. כלומר, ניתן לומר כי ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, או 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (כפי ∟K = ∟N). זה לא יוכיח את הנכס, שכן המשפט על סכום הזוויות של משולש שהוכח קודם לכן.

למעט הנכסים נחשבים הפינות של משולש, יש גם הצהרות חשובות כגון:

• ב גובה משולש שווה צלעות, אשר הונמך לבסיס, הוא החוצה החציוני בו זמנית של הזווית שהיא בין הצדדים השווים ציר סימטריה של הבסיס שלה;
• חציון (חוֹצֶה, גובה), אשר מוחזקים על צידי דמות גיאומטרית, שווה.

משולש שווה צלעות

זה נקרא גם את הזכות, הוא משולש, אשר שווה לכל הצדדים. ולכן גם שווה וזוויות. כל אחד מהם הוא 60 מעלות. תן לנו להוכיח נכס זה.

נניח שיש לנו משולש קמן. אנו יודעים כי KM = HM = KH. משמעות הדבר היא כי, על פי רכושו של זוויות הממוקמת בבסיס במשולש שווה צלעות ∟K = ∟M = ∟N. מאז, על פי סכום הזוויות של משולש משפט ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, אז x 3 = 180 ° ∟K או ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. לפיכך, הטענה תוכח. כפי שניתן לראות מן הראיות לעיל מתבססות על המשפט לעיל, סכום הזוויות של משולש שווה צלעות, כסכום של הזוויות של כל משולש אחר הוא 180 מעלות. שוב הוכחת משפט זה אינו הכרחי.

ישנם עדיין כמה תכונות אופייניות של משולש שווה צלעות:

• גובה חוֹצֶה החציוני דמות גיאומטרית זהה, ואורך שלהם מחושבים (א x √3): 2;
• אם הפוליגון הזה circumscribing המעגל, אז הרדיוס יהיה שווה (א x √3): 3;
• אם חרוט בתוך משולש שווה צלעות מעגלות, הרדיוס שלו יהיה (א x √3): 6;
• באזור של צורה גיאומטרית מחושב לפי הנוסחה: (x A2 √3): 4.

משולש קהה

על פי הגדרה, משולש קהה זווית, באחת מפינותיו הוא בין 90 ל 180 מעלות. אבל בהתחשב בעובדה ששתי הזוויות האחרות של הצורה הגיאומטרית, חדים ניתן להסיק כי הם אינם עולים על 90 מעלות. לפיכך, סכום הזוויות של משולש משפט עובד בחישוב סכום הזוויות במשולש קהה. אז, אנחנו יכולים לומר בבטחה, מתבססים על המשפט הנ"ל כי סכום הזוויות הקהות של משולש הוא 180 מעלות. שוב, משפט זה אינו צריך לחזור הוכחה.