משפט סינוס. פתרון של משולשים

במחקר של משולשי רצוני יש שאלה של חישוב היחס בין הצלעות והזוויות שלהם. בגיאומטריה, המשפט של cosines ו סינס נותן את התשובה המלאה ביותר לבעיה. השפע של ביטויים ונוסחות מתמטיים שונים, חוקים, משפטים וכללים הם כאלה הרמוניה יוצאת דופן שונה, תמציתית וקלה להאכיל אסיר בם. משפט סינוס היא דוגמא מעולה של נוסחה מתמטית כזו. אם הפרשנות המילולית עדיין קיימת מכשול מסוים בהבנה של חוקים מתמטיים, כאשר אתה מסתכל נוסחא מתמטית בבת אחת הוא נופל למקומו.

המידע הראשון על משפט זה נמצא בדמות ראיות לכך במסגרת עבודתו המתמטית של נאסר אל-דין אל-טוס, שראשיתה במאה השלושה העשרה.

מתקרבים קרוב יותר את היחסים בין צלעות וזוויות בכל משולש, ראוי לציין כי משפט סינוס מאפשר לנו לפתור בעיות מתמטיות רבות, ואת הגיאומטריה של החוק מוצאת יישום במגוון פעילות אנושית מעשית.

היא משפט סינוס קובע כי עבור כל משולש מאופיין צדדים מידתיים לפינות היפך סינס. ישנו גם חלק שני של משפט זה, לפיה היחס של כל צד של ההפך המשולש סינוס של הזווית שווה לקוטר של המעגל המתואר על המשולש תחת שיקול.

בנוסחה ביטוי זה נראה כמו

a / Sina = b / sinB = C / Sinc = 2R

יש לו הוכחה של משפט של סינוסים, אשר בגרסאות שונות של ספרי לימוד זמינים במגוון עשיר של גרסאות.

לדוגמה, שקול אחת ההוכחות, מתן הסבר על החלק הראשון של המשפט. כדי לעשות זאת, נבקש להוכיח נאמנות הביטוי sinc = ג סינה.

במשולש שרירותי ABC, לבנות לגובה BH. בשנת התגלמות אחד, H המבנה ישקר על AC הפלח, והשני מחוץ לה, תלוי בסדר הגודל של הזוויות על הקודקודים של המשולשים. במקרה הראשון, את הגובה יכול לבוא לידי ביטוי דרך זוויות צלעות המשולש כמו BH = a Sinc ו BH = ג Sina, המהווה את הראיות הנדרשות.

כאשר H-הנקודה היא מחוץ למגזר AC, נוכל לקבל את הפתרונות הבאים:

BH = a Sinc ו VL = חטא C (180-A) = C Sina;

או BH = חטא (180-C) = ו Sinc ו VL = ג סינה.

כפי שאתה יכול לראות, ללא קשר אפשרויות עיצוב, אנו מגיעים לתוצאה הרצויה.

ההוכחה של החלק השני של המשפט תחייב אותנו לתאר עיגול סביב המשולש. דרך אחת של גבהים במשולש, עבור B למשל, לבנות קוטר המעגל. הנקודה וכתוצאה על D המעגל מחובר אחד לגובה של משולש, לתת לזה להיות נקודה משולשת.

אם ניקח בחשבון את המשולשים שהתקבלו ABD ו- ABC, אנו יכולים לראות את השוויון של זוויות C ו- D (שהם מבוססים על אותו קשת). ובהתחשב בכך הזווית שווה תשעים מעלות D החטא = C / 2R, או חטא C = C / 2R, QED.

משפט סינוס הוא נקודת ההתחלה עבור מגוון רחב של משימות שונות. אטרקציה מיוחדת היא היישום המעשי שלה, כמסקנה של משפט אנו מסוגלים להתייחס לערך של הצדדים במשולשים, זוויות מנוגדות ואת הרדיוס (הקוטר) של מעגל חוסם סביב המשולש. הפשטות והזמינה של נוסחא המתארת ביטוי מתמטי זה, מותר נרחב לשימוש משפט זה כדי לפתור את הבעיות באמצעות מכשירים מכאניים שונים ספיר (סרגלי חישוב, שולחנות, וכן הלאה.), אבל אפילו הגעתו של התקני מחשוב החזקים אדם השירות אינה וריד רלוונטי של משפט זה.

משפט זה אינו חלק יחיד של הקורס נדרש גיאומטריה בתיכון, אך מאוחר יותר השתמש בפועל כמה תעשיות.