כיצד לחשב את שטח הפירמידה: הבסיס, הצד מלא?

כאשר מתכוננים ל USE במתמטיקה, התלמידים צריכים לשנות את הידע של אלגברה וגיאומטריה. אני רוצה לשלב את כל המידע הידוע, למשל, על איך לחשב את שטח הפירמידה. ומתחיל מן הבסיס ואת הצד פונה אל השטח של כל השטח. אם המצב עם הפנים הצד ברור, שכן הם משולשים, הבסיס הוא תמיד שונה.

איך להיות כאשר מוצאים את השטח של הבסיס של הפירמידה?

זה יכול להיות כל סוג של דמות: ממשולש שרירותי ל- n-gon. וזה הבסיס, מלבד ההבדל במספר הזוויות, יכול להיות דמות נכונה או שגוי. במשימות בית הספר המעניינות לתלמידי בית הספר מתקיימות רק עבודות עם הדמויות הנכונות בבסיס. לכן, אנחנו רק מדברים עליהם.

משולש ימין

זה שווה צלעות. זה עם כל הצדדים שווים ומסומנים באות "א". במקרה זה, שטח הבסיס של הפירמידה מחושב לפי הנוסחה:

S = (a ² * √3) / 4.

כיכר

הנוסחה לחישוב השטח שלה היא הפשוטה ביותר, כאן "א" הוא שוב בצד:

S = a ² .

ללא שם: שריר רגיל n-gon

בצד של המצולע יש את אותו סימון. עבור מספר הזוויות, השתמש באות הלטינית n.

S = (n * a ² ) / (4 * tg (180º / n)).

מה עלי לעשות בעת חישוב השטח של משטח לרוחב ומלא?

מאז הבסיס יש את הדמות הנכונה, כל הפרצופים של הפירמידה הם שווים. יתר על כן, כל אחד מהם הוא משולש isosceles, שכן הקצוות לרוחב שווים. ואז, כדי לחשב את השטח לרוחב של הפירמידה, אנחנו צריכים נוסחה המורכבת מסכום של מונומים זהים. מספר המונחים נקבע על ידי מספר הצדדים של הבסיס.

השטח של משולש isosceles מחושב על ידי הנוסחה שבה חצי המוצר של הבסיס מוכפל גובה. גובה זה בפירמידה נקרא apophema. ייעודה הוא "A". הנוסחה הכללית של השטח של פני השטח לרוחב הוא כדלקמן:

S = ½ P * A, כאשר P הוא היקף הבסיס של הפירמידה.

ישנם מצבים שבהם הצדדים של הבסיס אינם ידועים, אבל יש קצוות בצד (ג) ו זווית שטוח על הקודקוד שלה (α). אז זה אמור להשתמש בנוסחה כזו כדי לחשב את השטח לרוחב של הפירמידה:

S = n / 2 * ב ² חטא α .

מספר משימה 1

תנאי. מצא את השטח הכולל של הפירמידה אם יש לו משולש שווה צלעות עם צד של 4 ס"מ, ואת apophema יש ערך של 3 ס"מ.

הפתרון. זה מתחיל עם החישוב של המערכת של הבסיס. כיוון שמדובר במשולש קבוע, אזי P = 3 * 4 = 12 ס"מ, ומאחר שה apopheme ידוע, ניתן לחשב מיד את השטח של כל פני השטח לרוחב: ½ * 12 * √3 = 6√3 ס"מ ² .

עבור משולש בתחתית, אנו מקבלים את ערך האזור הבא: (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ס"מ ² .

כדי לקבוע את השטח הכולל, יש צורך להוסיף שני ערכים שנוצרו: 6√3 + 4√3 = 10√3 ס"מ ² .

תשובה. 10 ו -3 ס"מ ² .

משימה מס '2

תנאי . יש פירמידה רגילה מרובעת. אורכו של הצד של הבסיס הוא 7 מ"מ, הקצה לרוחב הוא 16 מ"מ. יש צורך לדעת את השטח של פני השטח שלה.

הפתרון. כיוון שהפולידהרון הוא מרובע ורגיל, יש ריבוע בבסיסו. לאחר שלמדנו את שטח הפנים והפנים הצדדיות, ניתן יהיה לספור את שטח הפירמידה. הנוסחה לריבוע ניתנת לעיל. ופני הצד ידועים לכל הצדדים של המשולש. לכן, ניתן להשתמש בנוסחה של גרון כדי לחשב את האזורים שלהם.

החישובים הראשונים פשוטים ומובילים למספר כזה: 49 מ"מ ² . עבור הערך השני, יהיה עליך לחשב את המחצית למחצה: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 מ"מ. עכשיו אנחנו יכולים לחשב את השטח של משולש משקפיים: √ (19.5 * (19.5-7) * (19.5-16) ² = = √2985.9375 = 54.644 מ"מ ² . ישנם רק ארבעה משולשים כאלה, ולכן בעת חישוב המספר הסופי, אתה צריך להכפיל את זה על ידי 4.

מתברר: 49 + 4 * 54,644 = 267,576 מ"מ ² .

תשובה . הערך המבוקש הוא 267.576 מ"מ ² .

משימה מספר 3

תנאי . בפירמידה רגילה מרובעת, יש צורך לחשב את השטח. הוא מכיר את הצד של הכיכר - 6 ס"מ ואת גובה - 4 ס"מ.

הפתרון. הדרך הפשוטה ביותר היא להשתמש בנוסחה עם המוצר של המערכת ואת apophema. הערך הראשון קל למצוא. השני הוא קצת יותר מסובך.

אני אצטרך לזכור את משפט פיתגורס ולשקול משולש מלבני. הוא נוצר על ידי גובה של פירמידה ו apophema, המהווה את hypotenuse. הרגל השנייה שווה חצי צד של הריבוע, שכן גובה של polyhedhed נופל למרכז שלה.

אפופמה הרצוי (hypotenuse של משולש זווית ישרה) הוא √ (3 ² + 4 ² ) = 5 (ס"מ).

עכשיו אנחנו יכולים לחשב את הכמות הנדרשת: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 (ס"מ ² ).

תשובה. 96 ס"מ ² .

משימה מספר 4

תנאי. בהתחשב פירמידה משושה רגיל. צדי בסיסו 22 מ"מ, צלעות לרוחב הם 61 מ"מ. מהו השטח של השטח לרוחב של זה polyhedron?

הפתרון. הטיעונים בו זהים לאלה המתוארים בבעיה 2. רק שם היתה פירמידה עם ריבוע בתחתית, ועכשיו זה משושה.

הצעד הראשון הוא לחשב את אזור הבסיס על פי הנוסחה לעיל: (6 * 22 ² ) / (4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ס"מ ² .

עכשיו יש צורך לדעת את חצי היקף של משולש isosceles, שהוא פנים לרוחב. (22 + 61 * 2): 2 = 72 ס"מ, הוא נשאר על פי נוסחת הרון כדי לחשב את השטח של כל משולש כזה, ולאחר מכן להכפיל אותו בשש ולהוסיף אותו אחד כי התברר לבסיס.

חישובים לפי הנוסחה של הרון: √ (72 * 72-22) * (72-61) ² = = √435600 = 660 ס"מ ² . חישובים אשר ייתן את השטח של השטח לרוחב: 660 * 6 = 3960 ס"מ ² . נותר להוסיף אותם כדי לגלות את כל פני השטח: 5217.47≈5217 ס"מ ² .

תשובה. הבסיסים הם 726√3 ס"מ ² , פני השטח לרוחב הוא 3960 ס"מ ² , השטח הכולל הוא 5217 ס"מ ² .