התמרת. פורה מהיר לשנות. פור הדיסקרטיות מרה

טרנספורמציה פורייה - טרנספורמציה, שיוך פונקציה מסוימת של ממש משתנה. פעולה זו מתבצעת בכל פעם שאנחנו תופסים צלילים שונים. אוזן מייצרת "חישוב" אוטומטי הממלא את התודעה שלנו יכול רק לאחר הבדיקה של הסעיף של מתמטיקה גבוהה. שמיעת איברים טרנספורמציה אנושי בונה, שבה הצליל (תנועת רטט קונבנציונלית של חלקיקים במדיום אלסטי, אשר להפיץ בצורה הגל בתווך המוצק, נוזלי או גזים) מסופקת מגוון של ערכים הרצופים של עוצמת הקול של צלילים בגבהים שונים. אחרי זה, המוח הופך את המידע לתוך כל הצליל המוכר.

מתמטית התמרת

מרה של גלי קול או תהליכי רטט אחר (על ידי פליטת אור גאות אוקיינוס כדי מחזורים כוכביים או שמש) יכול להתבצע באמצעות שיטות מתמטיות. לפיכך, שימוש בטכניקות אלה, הפונקציות ניתן להרחיב על ידי החדרת תהליכי הרטט להגדיר רכיבים סינוסי, עקומות גלי דהיינו אשר עוברים מינימום למקסימום ואז שוב עד למינימום, כמו גל בים. טרנספורמציה פורייה - פונקציה טרנספורמציה אשר מתאר את השלב או משרעת של כל סינוסואידה המתאים בתדר מסוים. שלב הוא נקודת התחלה של העקומה, ואת משרעת - הגובה שלה.

התמרה (דוגמאות מוצגות התמונה) הוא כלי רב עצמה, המשמש בתחומים שונים של מדע. במקרים מסוימים, הוא משמש כפתרון מורכב למדי משוואות המתארות את התהליכים הדינמיים המתרחשים תחת שפעת אור, חום או אנרגיה חשמלית. במקרים אחרים, זה מאפשר לך להגדיר רכיבים קבועים גל מורכב, בגלל זה יכול להיות נכון לפרש תצפיות ניסיוניות שונות בכימיה, רפואה ואסטרונומיה.

מידע היסטורי

האדם הראשון ליישם שיטה זו היה המתמטיקאי הצרפתי זאן Batist Fure. המרה, לאחר מכן נקרא על שמו, שימש במקור כדי לתאר את מנגנון הולכת חום. פורה כל חייו הבוגרים עוסקים בחקר התכונות של החום. הוא תרם תרומה עצומה על התאוריה המתמטית של קביעת השורשים של משוואות אלגבריות. הפורה היה פרופסור הניתוח בבית אקול פוליטכניק, המזכיר של לשכת אגיפטולוגיה, היה השירות הקיסרי, אשר עורר סערה בעת סלילת הכביש לטורינו (תחת הנהגתו ניטלת מהם יותר מ -80 אלף קילומטרים רבועים של ביצות מלריה). עם זאת, כל אקטיביזם זה לא מנע המדען עוסק ניתוח מתמטי. בשנת 1802 זה היה נגזר משוואה המתארת את ההתפשטות של חום במוצקים. בשנת 1807, מדען גילת שיטה לפתרון משוואה זו, שנודעה בשם "התמר".

ניתוח מוליכות תרמית

חוקרים השתמשו בשיטה מתמטית לתאר את המנגנון הולך חום. דוגמא נוחה, שבו אין קושי החישוב היא ההתפשטות של אנרגיה תרמית על ידי טבעת ברזל, חלק אחד שקועה בתוך אש. כדי לבצע ניסויים פורים חלק אדום לוהט של הטבעת ולקבור אותו בחול בסדר. לאחר מכן, מדידות הטמפרטורה בצעו מצד ההפך ממנו. בתחילה, הפיזור החום הוא לא סדיר: חלק הטבעת - קר, והשני - חם, בין האזורים יכולים להתבונן שיפוע טמפרטורה חד. עם זאת, במהלך הפיזור החום על פני שטח המתכת, הוא הופך להיות יותר אחיד. אז, בקרוב, תהליך זה מתבצע בצורה של גל סינוס. הגרף הראשון מגביר בהדרגה גם מקטין בצורה חלקה, מדויקת לחוקי וריאציה של קוסינוס או פונקציה סינוס. הגל השווה בהדרגה וכתוצאה מכך הטמפרטורה הופכת אחידה על כל פני השטח של הטבעת.

המחבר של שיטה זו הניח כי החלוקה הראשונית היא די סדירה יכול להיות מפורק למספר גלי סינוס יסודיים. כל אחד מהם יצטרכו בשלב שלה (עמדה ראשונית) ואת הטמפרטורה המקסימלית שלה. לכן כל שינויי רכיב כזה בין מינימום למקסימום ובחזרה כדי להשלים מהפכה ברחבי הפעמים שלמות טבעת. רכיב שיש תקופה שבה נקראה הרמונית היסוד, ואת הערך עם שתיים או יותר תקופות - השני וכן הלאה. לדוגמא, פונקציה מתמטית שמתארת את הטמפרטורה המרבית, השלב או העמדה שנקראה ההתמרה של פונקציית ההתפלגות. המדען הביא מרכיב בודד שקשה תיאור מתמטי, כלים קלים לשימוש - שורות של סינוס וקוסינוס, בסך של מתן ההפצה הראשונית.

המהות של הניתוח

בעזרת ניתוח זה המרה של פיזור חום על האובייקט המוצק, בעל צורה טבעתית, מתמטיקאי מנומק כי תקופות גדלות והולך של רכיבים סינוסי להוביל הדעיכה המהירה שלה. זה נראה בבירור על ההרמוניות הראשיות שניות. הטמפרטורה הסופית מגיעה פעמים ערך מינימום ומקסימום אחד לעבור, וב הראשון - פעם אחת בלבד. מתברר כי המרחק שעובר חום ההרמוני השני הוא חצי מזה של הליבה. בנוסף, השיפוע של המחצית השנייה גם יהיה חד יותר מהראשון. לכן, מאז שטף תרמי אינטנסיבי יותר עובר אלמנת מרחק מינימאלי, אז זה יהיה דכא הרמוני ארבע פעמים מהר יותר מאשר הראשי, כפונקציה של זמן. בחודש הבא בתהליך יהיה אפילו מהר יותר. מתמטיקאי האמין כי שיטה זו מאפשרת לנו לחשב את תהליך ההפצה הראשונית של הטמפרטורה עם הזמן.

בני שיחה

התמר אלגוריתם הפך אתגר את היסודות התיאורטיים של מתמטיקה בזמנו. במאה התשע עשרה מוקדם, רוב המדענים הבולטים, כולל לגראנז ', Laplace, פואסון, נדר ו ביו לא קיבל את טענתו כי הטמפרטורה של ההפצה הראשונית מפורקת למרכיבים בצורת גל היסוד ותדירות גבוהה. עם זאת, האקדמיה למדעים לא יכלה להתעלם התוצאות שהתקבלו מתמטיקאי, והעניקה לו הפרס על התאוריה של הולכת חום של החוקים, כמו גם ביצוע ההשוואה שלו עם ניסויים פיסיים. לפי הגישה פורייה, ההתנגדות העיקרית היא העובדה כי פונקציה רציפה מיוצגת על ידי סכום של פונקציות סינוסי מספר, שהן מטבען. אחרי הכל, הם מתארים את קווי מתפרצת ישר ומעוגל. מדען עכשווי מעולם לא נתקל במצב כזה, כאשר הפונקציות הרציפות המתוארות על ידי שילוב של רציף, כגון ריבועית, ליניארי, סינוס או למציגים. במקרה מתמטיקאי צדק בטענות שלו, הסכום של סדרה אינסופית של פונקציות טריגונומטריות צריך להיות מוגבל למהירות המדויקת. בעוד תביעה כזו נראית אבסורדית. עם זאת, למרות הספקות של חוקרים מסוימים (למשל קלוד סטוקס, Sofi Zhermen) הרחיב את היקף המחקר והביא אותם אל מחוץ ניתוח של פיזור חום. מתמטיקה, בינתיים, המשיכה לסבול את השאלה האם סכום של פונקציות סינוסי מספר מצטמצם ייצוג מדויק של התפוצצות.

היסטורית 200 שנים

תיאוריה זו התפתחה במשך שתי מאות, היום זה נוצר סוף סוף. בעזרתו של הפונקציות מרחביות או זמניות מחולקים רכיבים סינוסי כי יש תדר, שלב משרעת. מרה זה מתקבלת על ידי שתי שיטות מתמטיות שונות. הראשון שבהם הוא משמש במקרה כאשר המקור הוא פונקציה רציפה, והשני - במקרה שבו היא מיוצגת על ידי ריבוי של שינוי בודד דיסקרטית. אם הביטוי מתקבל ערכים, אשר מוגדרים במרווחים דיסקרטיים, זה יכול להיות מחולק לכמה ביטויי תדרים סינוסי דיסקרטיים - מהנמוך ביותר ולאחר מכן הוכפל, שולש, וכן הלאה מעל היסוד. סכום זה נקרא הטור הפורה. אם הביטוי הראשוני קובע את הערך של כל מספר ממשי, זה יכול להיות מחולקים תדרים סינוסי כל מספר אפשרי. זה נקרא פורה אינטגרלי, וההחלטה מרמזת טרנספורמציה של הפונקציה הנפרדת. תהא השיטה להשגת טרנספורמציה, עבור כל תדר צריך לציין שני מספרים: משרעת ותדירות. ערכים אלה באים לידי ביטוי כסינגל מספר מרוכב. תאוריה משתנית ביטוי מורכב יחד עם שינוי פורה לביצוע חישובים מותר העיצוב של מעגלים חשמליים שונים, הניתוח של תנודות מכאניות, חקר מנגנון גל הפצה ועוד.

התמרת היום

כיום, המחקר של תהליך זה בעצם מסתכם במציאת שיטות יעילות עבור מעבר פונקציה להמיר אותו בחזרה אל המוח. פתרון זה נקרא פורה הישיר הפך להפוך. מה זה אומר? על מנת לקבוע את אינטגרלי ולבצע פורה ישיר להפוך, אתה יכול להשתמש בשיטות מתמטיות, אבל אתה יכול אנליטית. למרות העובדה כי כאשר הם משמשים בפועל יש כמה קשיים, רוב אינטגרלים כבר מצאו ומוזני ספרים מתמטיים. בעזרת שיטות נומריות ביטויים ניתן לחשב, בצורה אשר מבוסס על נתוני ניסוי, פונקציה אשר אינטגרלים בטבלאות חסרות, והם קשה לדמיין בצורה אנליטית.

לפני הופעתו של חישובי הנדסת מחשבים טרנספורמציות כאלה היו מאוד משעממים, הם דורשים ביצוע ידני של מספר רב של פעולות אריתמטיות שתלוי את מספר נקודות המתארות את פונקציית הגל. כדי להקל על ההתיישבות היום, יש תוכניות מיוחדות, מותר ליישם חדשים ושיטות אנליטיות. אז, ב 1965, Dzheyms קולי ו Dzhon Tyuki יצרו תוכנה שזכתה בכינוי "פורה מהיר Transform". זה חוסך את הזמן של החישוב על ידי צמצום המספר של פעולות כפל בניתוח של העקומה. "פורה מהיר Transform" השיטה מבוססת על חלוקת העקומה לתוך מספר רב של ערכי מדגם אחידים. בהתאם לכך, המספר של פעולות כפל מצטמצם בחצי באותו צמצום מספר הנקודות.

החלת ההתמרה

תהליך זה משמש בתחומים שונים: ב תורת מספרים, פיסיקה, עיבוד אותות, קומבינטוריקה, תורת הסתברות, קריפטוגרפיה, סטטיסטיקה, אוקיאנוגרפיה, אופטיקה, אקוסטיקה, גיאומטריות אחרות. אפשרויות עשירות לשימושו מבוססים על מספר תכונות שימושיות, אשר נקראות "מאפיינים של טרנספורמציה הפורה." הבה נבחן אותם.

1. פונקציית המרה היא מפעיל ליניארי לבין נורמליזציה מקבילה היא יחידתית. מאפיין זה ידוע בתור משפט Parseval, או במקרה הכללי, דואליזם משפט Plansherelja או Pontrjagin.

2. ההמרה היא הפיכה. יתר על כן, את התוצאה ההפוכה היא צורה דומה בעיקרו כמו הישיר פונה.

3. הביטויים הבסיסיים סינוסי הם פונקציות בדיל משלהם. משמעות הדבר היא כי ייצוג כזה משנה משוואות ליניאריות עם מקדמים קבועים בתוך אלגבריים קונבנציונאלי.

4. לפי המשפט "הפיתול", התהליך הופך מבצע מורכב ב כפל יסודי.

5. הדיסקרטית Fourier Transform יכול להיות מתוכננים במהירות במחשב בשיטה "מהר".

וריאציות של ההתמרה

1. לרוב המונח משמש כדי להפנות טרנספורמציה רציפה, במתן כל ביטוי integrable quadratically כסכום הביטוי מעריכי מורכבים עם תדרים ואמפליטודות הזוויתי ספציפיים. למין זה בצורות שונות, אשר עשוי להיות מקדמים קבועים שונים. השיטה הרציפה כולל טבלת מרה, אשר ניתן למצוא בספרי הדרכה מתמטיות. מקרה כללי היא מרת השבר, לפיה תהליך זה יכול להיות בחזק אמיתי הרצוי.

2. השיטה הרציפה היא הכללה של טכניקה מוקדם של הסדרה הפורה המוגדרת עבור כל פונקציות מחזוריות או ביטויים, אשר קיימת בשטח מצומצם ולייצג אותם כסדרה של sinusoids.

3. פורייה דיסקרטית המרה. שיטה זו משמשת לחישוב עבור חישוב מדעי ועיבוד אותות דיגיטלי. כדי לבצע סוג של חישוב זה נדרש יש פונקציה של קביעה על קבוצה בדידה של נקודות בודדות, אזור תקופתי או מוגבל במקום אינטגרלים פורה רציף. האות המרה במקרה זה מיוצג כסכום של sinusoids. השימוש בשיטה "מהיר" מאפשר שימוש של פתרונות דיגיטליים מכל בחינה מעשית.

4. בחלון ההתמרה הוא תצוגה כללית של השיטה הקלסית. בניגוד לפתרונות סטנדרטיים כאשר ספקטרום האות משמש, אשר נלקח בטווח המלא של קיומו של משתנה זה הוא בעל עניין מיוחד כאן היא רק חלוקת התדר המקומית תוך שמירה על המשתנה המקורי (זמן).

5. להפוך פורה דו-ממדי. שיטה זו משמשת לעבוד עם שני ממדי מערכים של נתונים. במקרה כזה, ההמרה מתבצעת בכיוון אחד, ולאחר מכן - באחר.

מסקנה

היום, השיטה הפורה היא מחופר היטב בתחומי המדע השונים. לדוגמא, בשנת 1962 נפתח בצורת הסליל הכפול DNA באמצעות ניתוח פורה בשיתוף עם עקיפת רנטגן. הגבישים אחרונים התמקדו סיבי ה- DNA, וכתוצאה מכך דימוי אשר מתקבל על ידי עקיפה, רשם על הסרט. תמונה זו נתנה מידע לגבי הערך של משרעת באמצעות ההתמרה כדי המבנה הגבישי הזה. נתוני שלב מתקבלים על ידי השוואת כרטיסי עקיפת DNA עם כרטיסים כי מתקבלים בניתוח של מבנים כימיים דומים. כתוצאה מכך, ביולוגים שוחזר המבנה הגבישי - הפונקציה המקורית.

התמרת לשחק תפקיד עצום בחקר החלל החיצון, הפיזיקה של חומרים מוליכים למחצה ו פלזמה, אקוסטיקה מיקרוגל, אוקיאנוגרפיה, מכ"ם, סיסמולוגיה ובדיקות רפואיות.