מטוטלת: תקופה ואצה של נוסחא

המערכת המכנית הכוללת של ענין מהותי (הגוף), אשר תלוי על חוט להט inextensible משקל (המסה שלו הוא זניח ביחס למשקל הגוף) בשדה כבידה אחיד, כינה את מטוטלת מתמטית (שם אחר - מתנד). ישנם סוגים אחרים של התקנים. במקום מוט נימת משקל יכול לשמש. מטוטלת יכולה לחשוף את המהות ברורה של תופעות מעניינות רבות. כאשר תנודות משרעת קטנות של התנועה שלה נקראות הרמונית.

מידע כללי על המערכת המכאנית

הנוסחה של תקופת תנודה של מטוטלת היה bred הויגנס המדען ההולנדי (1629-1695 GG.). העכשווי של אייזק ניוטון היה מאוד מחבב של המערכת המכאנית. בשנת 1656 הוא יצר את השעון הראשון עם מנגנון מטוטלת. הם מדדו את הזמן בדייקנות קיצונית במונחי הימים ההם. המצאה זו הייתה צעד משמעותי בהתפתחות של ניסויים פיסיים ופעילות מעשית.

אם המטוטלת נמצאת במצב שיווי משקל (תלוי אנכי), את כוח כובד יהיה מאוזן כוח מתח החוט. מטוטלת שטוחה על חוטים בלתי למתיחים היא מערכת עם שתי דרגות חופש של תקשורת. בעת שינוי רק מרכיב אחד של שינוי המאפיינים של כל חלקיו. לדוגמא, אם חוט מוחלף מוט, אז המערכת המכאנית הזאת היא רק 1 מידת החופש. מה, אם כן, את המאפיינים של מטוטלת מתמטית? במערכת פשוטה זו, תחת שפעת הפרעות תקופתיות, כאוס מופיע. במקרה כזה, כאשר נקודת ההשעיה לא זז, וגם נעה מטוטלת ישנה נקודת שיווי משקל חדשה. אם תנודות מהירות למעלה ולמטה מערכת מכאנית זה הופך עמדה יציבה "הפוכה". כמו כן, יש שמה. זה נקרא Kapitza המטוטלת.

המאפיינים של המטוטלת

יש מטוטלת תכונות מעניינות מאוד. כולם נתמכים על ידי חוקי הפיסיקה הידועים. תקופת התנודה של המטוטלת כל תלוי אחר על נסיבות שונות כגון גודל וצורה של הגוף, את המרחק בין נקודת השעיה ואת מרכז כובד, חלוקת משקל ביחס לנקודה זו. לכן ההגדרה של התקופה תלויה בגוף היא די מאתגרת. הרבה יותר קל לחשב את תקופת מטוטלת פשוטה, הנוסחא של אשר הוא כדלקמן. כתוצאה התבוננות דפוסים אלה ניתן להגדיר על מערכות מכניות דומות:

• אם, תוך שמירה על אותו האורך של המטוטלת, מושעה ממגוון המון, בתקופה של התנודה לקבל אותו, אם כי משקלם ישתנה באופן משמעותי. כתוצאה מכך, בתקופה של המטוטלת אינה תלויה במשקל של העומס.

• אם המערכת מתחילה לרדת ב המטוטלת הוא לא גדול מדי, אבל מזוויות שונות, זה ינוע באותה תקופה, אבל אמפליטודות שונות. בעוד סטיות ממרכז האיזון אינה תנודות גדולות מדי בצורתם תהיינה קרובות מספיק הרמוניות. תקופת מטוטלת כזו אינה תלויה משרעת התנודה. מאפיין זה של המערכת המכאנית נקרא isochronism (ב "כרונוס" יווני - זמן "Izosov" - שווה).

תקופת מטוטלת פשוטה

נתון זה מייצג את התקופה הטבעית של תנודה. למרות כתרכובת, התהליך עצמו הוא מאוד פשוט. אם אורכו של L המטוטלת המתמטית החוט, ואת g תאוצת הכבידה, ערך זה שווה:

T = 2π√L / g

תקופה קטנה של תנודות טבעיות בשום אופן אינה תלויה במסה של המטוטלת ואת משרעת התנודה. במקרה זה, כמו מטוטלת מתמטית נעה עם אורך מופחת.

תנודות של מטוטלת מתמטית

מטוטלת מתמטית נעה, אשר יכול להיות מתואר על ידי משוואה דיפרנציאלית פשוטה:

x + ω2 חטא x = 0,

כאשר x (t) - פונקציה ידועה (זווית זו של סטייה מן העמדה התחתונה של שיווי משקל בזמן t, הביע ברדיאנים); ω - קבוע חיובי אשר נקבעת מן הפרמטרים של המטוטלת (ω = √g / L, כאשר g - תאוצת הכובד, ו- L - אורך של מטוטלת פשוטה (השעיה).

למשוואת תנודות קטנות ליד נקודת שיווי משקל (משוואה הרמונית) כדלקמן:

x + ω2 חטא x = 0

תנועה תנודתית של המטוטלת

מטוטלת, מה שהופך תנודות קטנות, נעים סינוסואידה. משוואה דיפרנציאלית מסדר שני עומד בכל הדרישות ופרמטרים של תנועה כזאת. כדי לקבוע את הנתיב אתה צריך להגדיר את המהירות ואת הקואורדינטות, אשר מאוחר יותר נקבע קבועים עצמאית:

x = חטא (θ ₀ + ωt),

איפה θ ₀ - ראשוני שלב, A - משרעת של תנודה, ω - תדירות מחזורית נקבעה מן משוואות תנועה.

מטוטלת (נוסחא אמפליטודות גדול)

מערכת מכאנית זו, לבצע התנודות שלהם עם משרעת גדולה, והיא כפופה לחוקי תנועה מורכב יותר. הם מחושבים לפי הנוסחה עבור מטוטלת כגון:

חטא x / 2 = SN * u (ωt / u),

איפה SN - sine יעקובי, אשר עבור u <1 היא פונקציה מחזורית, ועל קטן u זה עולה בקנה אחד עם סינוס טריגונומטריות הפשוט. הערך של u נקבע על ידי הביטוי הבא:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

איפה ε = E / mL2 (mL2 - אנרגיה של המטוטלת).

קביעת תקופת תנודה ליניארית של המטוטלת על ידי הנוסחה הבאה:

T = 2π / Ω,

איפה Ω = π / 2 * ω / 2K (U), K - אינטגרל אליפטי, π - 3,14.

תנועת המטוטלת של ספרטריקס

זה נקרא מסלול ספרטריקס של המערכת הדינמית, שבה מרחב שלב שני-ממדי. המטוטלת נעה על בסיס non-תקופתי. בנקודה הרחוקה לאין הזמן יורד מן העמדה העליונה הקיצונית לכיוון מהירות אפס, ואז הוא צובר בהדרגה. בסופו של דבר הוא נעצר, חוזר למקומו המקורי.

אם משרעת של תנודה של המטוטלת מתקרב pi מספר, הוא אמר כי בתנועה במישור השלב קרובה ספרטריקס. במקרה זה, תחת הפעולה של כוח מניע תקופתי קטן של המערכת המכאנית מפגין התנהגות כאוטית.

במקרה של מטוטלת פשוטה מעמדת שיווי המשקל עם cp זווית מתרחש Fτ כוח משיקים = הכביד φ חטא -mg. "מינוס" סימן אומר כי הרכיב המשיק מכוון בכיוון ההפוך מכיוון הסטייה של המטוטלת. בהתייחסו באמצעות עקירת מטוטלת x לאורך קשת עגולה עם L רדיוס שווה φ התזוזה זוויתית שלה = x / L. החוק השני Isaaka Nyutona, המיועד להשלכה של וקטור התאוצה וכוח לתת את הערך הרצוי:

מ"ג τ = Fτ = -mg חטא x / L

בהתבסס על היחס הזה, ברור כי המטוטלת היא מערכת ליניארית, ככוח אשר נוטה לחזור למצב שיווי המשקל שלו, לא תמיד פרופורציונלית x העקירה, חטא x / L.

רק כאשר המטוטלת המתמטית מבצעת תנודות קטנות, זהו מתנד הרמוני. במילים אחרות, הוא הופך להיות מערכת מכנית המסוגלים לבצע תנודות הרמוניות. קירוב זה תקף כמעט זוויות 15-20 מעלות. מטוטלת עם אמפליטודות גדול היא לא הרמונית.

החוק של ניוטון עבור תנודות קטנות של מטוטלת

אם המערכת המכאנית מבצעת תנודות קטנות, החוק של 2 ניוטון ייראה כך:

מ"ג τ = Fτ = -m * g / L x *.

על בסיס זה, אנו יכולים להסיק כי האצת המשיק של מטוטלת פשוטה פרופורציונלית התזוזה שלה עם הסימן "מינוס". זהו מצב שבו המערכת הופכת מתנד הרמוני. מודול גרם מידתי בין העקירה לבין התאוצה שווה לריבוע של התדירות הזוויתית:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

נוסחה זו משקפת את התדר הטבעי של תנודות קטנות של סוג זה של המטוטלת. על בסיס זה,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

חישובים המבוססים על חוק שימור האנרגיה

מאפייני נדנוד תנועות מטוטלת ניתן לתאר בעזרת חוק שימור אנרגיה. ראוי לזכור כי את האנרגיה הפוטנציאלית של המטוטלת בשדה הכביד היא:

E = mgΔh = MGL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

מלאת אנרגיה מכאנית שווה את הפוטנציאל הקינטית מרבי: Epmax = Ekmsx = E

לאחר שכתבת את חוק שימור אנרגיה, לקיחת הנגזרת של הצדדים שמאלה וימינה של המשוואה:

פרק + Ek = const

מאז נגזרת של קבועי שווה 0, אז (EP + Ek) "= 0. נגזרת של סכום שווה לסכום של נגזרים:

פרק '= (מ"ג / L * x2 / 2)' = מ"ג / 2L * 2x * x '= מ"ג / L * נ + אק' = (MV 2/2) = m / 2 (v2) "= m / 2 * 2v * נ "= α * MV,

ולכן:

Mg / L * XV + MVA = V (מ"ג / L * x + α m) = 0.

בהתבסס על הנוסחא האחרונה, אנו מוצאים: α = - g / L x *.

יישום מעשי של המטוטלת המתמטית

האצה של נפילה חופשית משתנית עם קווי רוחב, כי הצפיפות של הקרום סביב כדור ארץ אינו זהה. איפה סלעים להתרחש עם צפיפות גבוהה יותר, זה יהיה מעט גבוה יותר. האצה של מטוטלת מתמטית משמשת לעתים קרובות עבור חקר. בשנת מבט העזרה שלו כדי ומינרלים שונים. כל שעליך לעשות הוא לספור את מספר התנודות של מטוטלת, אפשר לזהות את הפחם או עפרות במעמקי כדור הארץ. זאת בשל העובדה כי משאבים אלה יש צפיפות ומשקל של יותר מ שוכב מתחת סלעים רופפים.

מטוטלת מתמטית בשימוש על ידי חוקרים בולטים כגון סוקרטס, אריסטו, אפלטון, פלוטרכוס, ארכימדס. רבים מהם האמינו כי המערכת המכאנית עשויה להשפיע על הגורל והחיים. ארכימדס בשימוש במטוטלת מתמטית עם החישובים שלו. כיום, רבים אוקולטיסטים מדיומים להשתמש במערכת מכנית זו ליישום הנבואות שלו, או בחיפוש אחר נעדרים.

האסטרונום הצרפתי המפורסם ומדען, Flammarion למחקר שלהם גם בשימוש מטוטלת מתמטית. הוא טען כי בעזרתו הוא הצליח לחזות את הגילוי של כוכב לכת חדש, הופעתה של מטאוריט טונגוסקה, ואירועים חשובים אחרים. במהלך מלחמת העולם השנייה בגרמניה (ברלין) עבד במכון מיוחד של המטוטלת. כיום, מחקר כזה אינו זמין מינכן מכון לפאראפסיכולוגיה. עבודתו עם מטוטלת צוות של המוסד הזה שנקרא "radiesteziey".