מהו חשבון? המשפט היסודי של האריתמטיקה. אריתמטיקה בינארית

מהו חשבון? כאשר האנושות החלה להשתמש במספרים לעבוד איתם? איפה הם השורשים שלה של מושגים יומיומיים כמו מספרים, שברים, חיסור, חיבור וכפל, אותו אדם עשה חלק אינטגרלי של החיים ובהשקפת עולמו? מוחות יווניים העריצו מדעים כגון מתמטיקה, חשבון וגיאומטריה, כמו סימפוניה נהדרת של היגיון אנושי.

אולי במתמטיקה אינה עמוקה כמו במדעים האחרים, אבל מה יקרה להם, אנשים שוכחים את לוח הכפל היסודי? המוכרת לנו חשיבה לוגית, באמצעות מספרים, שברים, וכלים אחרים כדי לתת לאנשים זמן קשה, ובמשך זמן רב לא הייתה זמינה אבותינו. למעשה, לפני הפיתוח של האריתמטיקה שום שטח של ידע אנושי לא היה מדעי באמת.

אריתמטיקה - המתמטיקה היא האלפבית

אריתמטיקה - המדע של מספרים, שבה כל אדם מתחיל את ההיכרות עם העולם המרתק של מתמטיקה. במילותיו של M. V. לומונוסוב, אריתמטיקה - זהו השער של למידה, שפתח את הדרך עבורנו Miropoznanie. אבל הוא צודק, הוא ידע על העולם ניתן להפריד את הידע של אותיות ומספרים, מתמטיקה דיבור? אולי בימים ההם, אבל לא בעולם המודרני, שבו ההתפתחות המהירה של מדע וטכנולוגיה עושה חוקים משלו.

המילה "חשבון" (GK. "Arifmos") ממוצא יווני, פירושו "מספר". הוא בוחן את המספר ואת כל זה ניתן לשייך אותם. זהו עולם של מספרים: פעולות שונות על מספרים, כללים מספריים, את המשימות הקשורות כפל, חיסור, וכן הלאה ..

מקובל כי הצעד הראשוני הוא מתמטיקה אריתמטיקה בסיס מוצק עבור חלקים שלה מורכבים יותר, כגון אלגברה, אנליזה מתמטית, מתמטיקה גבוהה t. ד

המטרה העיקרית של האריתמטיקה

הבסיס של האריתמטיקה - הוא מספר שלם, תכונות וחוקים אשר נחשבים אריתמטי או הגבוהים ביותר בתורת מספרים. למעשה, עד כמה הגישה הנכונה היא נלקחה בתמורה של יחידה כזו קטנה, כמספר טבעי תלוי בעוצמת הבניין - מתמטיקה.

לכן, השאלה היא אריתמטי, התשובה היא פשוטה: הוא המדע של מספרים. כן, על שבעה כרגיל, תשע, וכל קהילה מגוונת זו. ובדיוק כמו גם, ואת הפסוקים הבינוניים ביותר לא יכולים לכתוב בלי האלפבית בסיסי, בלי חשבון שלא ניתן לפתור אפילו משימות בסיסיות. לכן כל המדעים קידמו רק לאחר פיתוח של האריתמטיקה ומתמטיקה, להיות בעיקר סדרה של הנחות.

אריתמטיקה - מדע-רפאים

מהי אריתמטיקה - מדעי הטבע או רוח רפאים? למעשה, כפי הפילוסופים היווניים העתיקים מנומקים, אין מספרים, אין דמויות במציאות לא קיימות. זה רק פאנטום, אשר נוצר במחשבה האנושית בעת הצגת הסביבה והתהליכים שלה. למעשה, מה הוא מספר? בשום מקום ברחבי איננו רואים דבר כזה יכול להיקרא מספר, ליתר דיוק, מספר - זו דרך לחקור את העולם של המוח האנושי. אולי במחקר זה אנו צריכים בתוך עצמם? פילוסופים להתווכח על זה במשך מאות שנים ברציפות, כך לתת תשובה ממצה איננו מתחייבים. כך או כך, על האריתמטיקה יכול כל כך בתקיפות לקחת עמדתם בעולם המודרני אף אחד לא יכול להיחשב מותאם מבחינה חברתית ללא ידיעת יסודותיו.

מאחר שלא היה מספר חיובי

כמובן, המטרה העיקרית של הפועל אריתמטי, - מספר טבעי כגון 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... וכו ' אריתמטיקה של מספרים טבעיים היא התוצאה של חשבון חפצים רגילים, כגון פרות באחו. ובכל זאת, ההגדרה של "הרבה" או "מעט" כשמשהו חדל להחזיק אנשים, והיה צריך להמציא טכניקת ספירה מתוחכמת יותר.

אבל פריצת הדרך האמיתית הגיעה כאשר המוח האנושי הגיע לנקודה שבה יכול להיות אחד ואותו מספר של "השנייה" לייעד ו 2 קילו, ו לבן 2 ו 2 חלקים. העובדה כי יש צורך לצאת אל ההפשטה הצורות, המאפיינים והמשמעות של חפצים, אז אנחנו יכולים לייצר קצת אקשן עם אובייקטים אלה בצורה של מספרים שלמים חיוביים. כך נולד אריתמטי של מספרים, אשר פותח עוד והרחיב ב כובש עמדה בחברה.

כזה מעמיק מושג המספר, כמו אפס מספרים שליליים, שברים, מספרים מתייחסים המספרים בדרכים אחרות, יש היסטוריה עשירה ומעניינת של פיתוח.

מצרים אריתמטיקה והמעשיים

שתי לוויה אנושית העתיקה בחקר העולם ופתרון בעיות היומיום - אריתמטי זה וגיאומטריה.

הוא האמין כי ההיסטוריה של האריתמטיקה מקורו במזרח העתיק: הודו, מצרים, בבל וסין. אז, Rhind פפירוס ממוצא מצרי (שנקרא כך משום אותו שם השייכים הבעלים), שראשיתה במאה עשרים. לפני הספירה, בנוסף לנתונים חשובים אחרים כוללת הרחבת שבריר בסך של שברים עם מכנים שונים המונה שווה אחד.

לדוגמה: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365 .

אבל מהי המשמעות של כזה פירוק מורכב? העובדה כי הגישה המצרית אינה סובלת מפוזר לחשוב על מספרים, להיפך, החישובים נעשו רק למטרות מעשיות. כלומר, המצרים יהיו עסוקים בעסקים כגון חישובים, אך ורק על מנת לבנות את הקבר, למשל. היה צורך לחשב את אורך מבנה סנפיר, והדבר הביא לידי אדם לשבת פפירוס. כפי שניתן לראות, את ההתקדמות המצרית בחישובים נקראה, ולא מסיבי, בנייה, ולא אהבת המדע.

מסיבה זו, חישובים נמצאים על פפירוסים, לא יכולים להיקרא השתקפויות בנושא שברים. סביר להניח, זוהי הכנה מעשית, אשר סייעו לפתור עוד בעיות עם שברים. המצרים הקדמונים לא יודעים את לוח הכפל, פיק חישובים ארוכים למדי, התפרש משימות משנה רבות. אולי זו אחת תת הפעילויות הללו. יקל להבחין כי החישובים עם חסר אלה הם מאוד זמן רב ולא מאוד מבטיח. אולי מסיבה זו אינו רואה תרומה גדולה להתפתחות מתמטיקה מצרית עתיקה.

יוון העתיקה וחשבון פילוסופים

רבים מן הידע של המזרח הקדום היו משתלטים עליו בהצלחה על ידי היוונים הקדמונים, הידוע לחובבי השתקפות מופשטת, מופשט ופילוסופים. תרגל אותם מעוניינים לא פחות אך תיאורטיקנים והוגים מיטב קשים למצוא. זה היה טוב עבור המדע בגלל מתמטיקה לא ניתן ללכת עמוק, לא לקרוע אותו עם המציאות. כמובן, אפשר להכפיל את 10 פרות ו 100 ליטרים של חלב, אבל לא יוכל לזוז הרבה.

יווני חשיבה עזבו עמוק חותם משמעותי בהיסטוריה, ואת יצירותיהם הגיעו אלינו:

• אוקלידס ואת "אלמנטים".
• פיתגורס.
• ארכימדס.
• ארטוסתנס.
• זנון.
• אנכסגורס.

וגם, כמובן, הופך את כל הפילוסופיה של היוונים, ובמיוחד חסידיו של מקרים פיתגורס היו כל כך מתלהבים מספרים, אשר נחשבו להם הרמוניה בעולם תעלומה. המספרים כבר אז לומדים וחקר, שחלק מהם והזוגות שלהם לייחס תכונות מיוחדות. לדוגמה:

• מספרים מושלמים - אלה הם סך כל המחלקים שלו פרט למספר עצמו (6 = 1 + 2 + 3).
• מספרים ידידותיים - המספרים האלה, שאחד מהם הוא הסכום של כל המחלקים של ולהיפך השניים וסגן (פיתגורס יודעים רק זוג אחד כזה: 220 ו 284).

היוונים, אשר האמין שהמדע צריך להיות נאהב, לא להיות איתה למען רווח, השקיעו מאמצים ניכרים, לחקור, לשחק והוספת מספרים. יצוין כי לא כל המחקר שלהם כבר בשימוש נרחב, חלקם היו רק "בשביל היופי."

הוגים מזרחיים של ימי ביניים

בדומה לכך, בימי ביניים האריתמטיקה הוא חב את התפתחותה של הבנים המזרחיים. האינדיאנים נתנו לנו את הדמויות שאנו משתמשים באופן פעיל דבר כזה כמו "אפס", ואת וריאצית עמדת מערכת חישוב, התפיסה המודרנית הרגילה. מאל-דייסה, אשר במאה ה -15 עבדה סמרקנד, יש לנו ירשנו את עשרוניים, שבלעדיו קשה לדמיין אריתמטי מודרני.

במובנים רבים, אירופה היכרות עם ההישגים של המזרח התאפשרו הודות לעבודת המדען האיטלקי לאונרדו פיבונאצ'י, שכתב ספר "ספר החשבונייה", היכרות עם חידושים מזרחיים. זה הפך את אבן הפינה של התפתחות אלגברה וחשבון, מחקר ופעילויות מדעיות באירופה.

האריתמטיקה רוסית

לבסוף, אריתמטיקה, מצאה את מקומה ומושרשת באירופה, החלו להתפשט על אדמת רוסיה. האריתמטיקה הראשון הרוסי שפורסם 1703 - זה היה ספר על חשבון Leontiya Magnitskogo. במשך זמן רב היה זה ההדרכה רק במתמטיקה. הוא מכיל את הרגעים הראשונים של אלגברה וגיאומטריה. הדמויות, אשר שמשו בדוגמות של ספר הלימוד של האריתמטיקה הראשונה של רוסיה, ערבית. למרות ספרות ערבית שכבר נפגשה פעם, ב התחריטים שראשיתה במאה ה -17.

הספר עצמו מעוטר בתמונות של ארכימדס פיתגורס, ובעמוד הראשון - האריתמטיקה תמונה כאישה. היא יושבת על כס, מתחתיו כתוב את המילה עברית עבור השם של אלוהים, ועל המדרגות המובילות אל המזבח, ועליו המילה "חלוקה", "עלייה", "בנוסף", וכן הלאה. ד אפשר רק לדמיין מה נבגד ערך אמיתות כאלה, אשר נחשבים כיום לדבר שבשגרה.

ספר הלימוד של 600 עמודים מתאר כבסיס בנוסף כמו ואת לוח הכפל, ויישומים עבור מדעי ניווט.

באופן לא מפתיע, המחבר בחר את התמונה של הוגים ביווניים בספרו, כי הוא עצמו הלך שבי אחר היופי של האריתמטיקה, אומר, "אריתמטיקה יש chislitelnitsa ישנת אמנות הוגנות, nezavistnoe ...". גישה אל חשבון זה מבוסס היטב, כי זה האימוץ הנרחב שלה יכול להיחשב תחילת ההתפתחות המהירה של מחשבה מדעית ברוסיה והשכלה כללית.

מספרים ראשוניים לא שקטים

מספר ראשוני - הוא מספר טבעי, וזה רק 2 מחלקים חיוביים: 1 ו עצמו. כל המספרים האחרים, למעט 1 נקרא מרוכבים. דוגמאות של מספרים ראשוניים: 2, 3, 5, 7, 11, וכל האחרים שאינם המחלקים מלבד 1 והמספר עצמו.

באשר למספר 1, זה בפרמיה - קיימת הסכמה כי יש לשקול לא פשוט ולא מורכב. פשוט במבט ראשון, מספר פשוט מסתיר תעלומות בלתי פתורות רבות בתוך עצמם.

המשפט של אוקלידס אומר כי מספר אינסופי של מספרים ראשוניים, ועל ארטוסתנס באו עם "מסנן" חשבון מיוחד, אשר מבטל מספרים מסובכים, עוזב פשוט בלבד.

מהותו היא להדגיש את מספר מחיקתו הראשון, וב המרשה עוקב מתוך אלה בכפולות של זה. אנו חוזרים על הליך זה מספר פעמים - ולקבל טבלה של מספרים ראשוניים.

המשפט היסודי של האריתמטיקה

בין התצפיות על מספרים ראשוניים צריכים להזכיר במיוחד את משפט החשבון הבסיסי.

משפט חשבון בסיסי קובע כי כל יותר שלם מאשר 1, או פשוט או שזה יכול להיות מפורק תוצר של מספרים ראשוניים עד סדר גורמי החזרה, הדרך היחידה.

המשפט היסודי של האריתמטיקה הוכיח מסורבל למדי, והבנה זה לא כמו רק את היסודות.

במבט הראשון, את המספרים הראשוניים - מושג יסודי, אבל זה לא. פיסיקה גם שפעם נחשבת אטום יסודי, עד שמצא בתוך יקום. מספרים ראשוניים המוקדש מתמטיקאי סיפור יפה דון Zagier "את המספרים הראשוניים חמישים מיליון הראשון."

מתוך "שלושה תפוחים" לחוקים דדוקטיבית

זה באמת יכול להיקרא בסיס מחוזק מכל מדע - חוקי אריתמטיקה. אפילו כילד כל פן אריתמטי, לומד את מספר הרגליים וזרועות בבית הבובות, מספר קוביות, תפוחים וכן הלאה. ד אז אנחנו לומדים אריתמטיים, אשר לאחר מכן מתפתח לתוך כללים מורכבים יותר.

כל החיים שלנו מפגישים אותנו לכללי האריתמטיקה, אשר היו עבור האדם הפשוט השימושיים ביותר של כל שהמדע נותן. המחקר של מספרים - זה "אריתמטיקה-תינוק", אשר מציגה גבר לעולם של מספרים כמו ספרות בילדות המוקדמת.

אריתמטיקה גבוהה - מדע דדוקטיבי החוקר את חוקי אריתמטיקה. רובם אנו יודעים, כי אולי אנחנו לא יודעים הניסוח המדויק שלהם.

החוק של חיבור וכפל

כל שני מספרים שלמים a ו- b ניתן לבטא כסכום של B +, אשר גם הוא מספר טבעי. באשר בנוסף, החוקים הבאים:

• קומוטטיבית, שאומר כי תמורה של תנאי מציב הסכום אינו משתנה, או a + b = b + a.
• הסכום אסוציאטיבי שאמר אינו תלוי בשיטה של קיבוץ התנאי במקומות, או + (ג + b) = (a + b) + c.

חוקי האריתמטיקה, כגון בנוסף, - אחד בסיסי, אבל הם משמשים כל המדעים, שלא לדבר על חיי היומיום.

כל שני מספרים שלמים a ו- b יכולים לבוא לידי ביטוי במוצר או B * A * B, אשר גם הוא מספר טבעי. כדי להחיל את אותו המוצר החוקי חלופית ו אסוציאטיבי לגבי התוספת של:

• A * B = B * A;
• a * (ג * ב) = (A * B) * ג.

זה מעניין, כי יש חוק, המשלב חיבור וכפל, הידוע גם חלוקה או חוק חלוקתי:

A (ג b +) = ab + ac

חוק זה מלמד אותנו לעבוד עם סוגריים, פתיחתם, ובכך אנו כבר יכולים לעבוד עם נוסחאות מורכבות יותר. אלה הם החוקים שיובילו אותנו הדרך בעולם המוזר אבל מורכב של אלגברה.

סדר אריתמטי חוק

על פי חוקי ההיגיון האנושי הוא משתמש בכל יום, בודק בשעונו וספירת שטרות. וגם, בכל זאת, וזה צריך להיעשות לשפה ספציפית.

אם יש לנו שני מספרים שלמים חיוביים A ו- B, אז האפשרויות הבאות:

• a הוא שווה B, או B =;
• פחות מ B, או
• a הוא גדול יותר מאשר ב, או> b.

מבין שלושת האפשרויות פשוט יכול להיות רק אחד. חוק היסוד, אשר מסדיר את ההליך, ואמר: אם a

ישנם גם חוקים המחייבים את פעולות בסדר גודל של חיבור וכפל: אם a

חוקי אריתמטיקה למדו אותנו לעבוד עם מספרים, סימנים בסוגריים, הופכים כל דבר סימפוניה הרמונית של מספרים.

מערכת מספור למיקום ו- nonpositional

אנחנו יכולים לומר כי מספרים - זוהי השפה של מתמטיקה, מהנוחות של אשר תלוי בהרבה דברים. ישנן שיטות רבות של חישוב, אשר, כמו אלפבית של שפות שונות נבדלות.

קח למשל את המערכת מספר מנקודת עמדות השפעה על ערכם הכמותי של הספרות בתנוחה זו. לדוגמה, מערכת הרומית הוא nonpositional שבו כל מספר מקודד על ידי קבוצה מסוימת של תווים מיוחדים: I / V / X / L / C / D / M. הם, בהתאמה, המספרים 1/5/10/50/100/500 / 1000. במערכת זו, הדמות אינה משנה נחישות כמותית שלה, תלוי באיזה עמדה שצריך: .. ראשון, שני, וכו 'כדי לקבל את מספרי אחרים, יש צורך להניח את הבסיס. לדוגמה:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

נוסף המוכר לנו שיטה ספירה באמצעות ספרות ערבית היא מיקומית. במערכת כזו מספר הפריקה מגדיר את מספר הספרות, למשל, מספרים תלת ספרתיים: 333, 567, וכו ' המשקל של כל אחד פריקה תלוי בעמדה שעליה הדמות אחת או אחר, למשל, דמות 8 במיקום השני יש ערך של 80. זה אופייני השיטה העשרונית, יש מערכת מיקומית אחרת כגון בינארי.

אריתמטיקה בינארית

אנחנו שיטה עשרונית מוכרת, מורכב מספרים בודד סיביים ורב-ביט. האיור בצד שמאל של מספר דו ספרתי הוא פי עשרה יותר חשיבות אחד מימין. אז, נהגנו לקרוא 2, 17, 467, וכן הלאה. ד זהו קטע היגיון בגישה שונה, אשר נקרא "חשבון בינארי." הדבר אינו מפתיע, משום אריתמטיים בינאריים לא נוצר עבור היגיון אנושי, ועל המחשב. אם אריתמטי של מספרים שמקורה הספירה, אשר בצעה הפשטה נוספת מהנכס בכפוף אריתמטיים "עירום", אז זה לא יעבוד עם המחשב שלך. כדי להיות מסוגל לחלוק את הידע שלהם עם המחשב, אדם היה צריך להמציא חישוב מודל.

אריתמטיקה בינארית עובדת עם האלפבית הבינארי, אשר מורכב רק 0 ו 1. השימוש באלפבית זה נקרא מערכת בינארית.

בניגוד עשרוני אריתמטיים בינאריים כי החשיבות של עמדת השמאל כבר לא 10, ו 2 פעמים. מספרים בינאריים הם בפורמט 111, 1001 וכן הלאה. ד כיצד עלינו להבין את המספרים האלה? לפיכך, אנו רואים את המספר 1100

1. הספרה הראשונה מהשמאל - 1 * 8 = 8, אם יזכור כי הספרה הרביעית, מה שאומר שזה חייב להיות מוכפל 2, אנחנו מקבלים 8 לתפקיד.
2. ספרה שנייה 1 * 4 = 4 (עמדה 4).
3. השלישי ספרות 0 * 2 = 0 (עמדה 2).
4. הרביעי ספרות 0 * 1 = 0 (עמדה 1).
5. אז המספר שלנו 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

כלומר, המעבר קטגוריה חדשה מהשמאל ומשמעותה במערכת בינארית מוכפל 2 ואת הנקודה העשרונית - עד 10. כזה יש מערכה חסרון אחד: הוא ביטי צמיחה גדולים מדי כי נדרשים לרשום מספרים. מספרים עשרוניים דוגמאות dvochinyh כפי שניתן לראות בטבלה הבאה.

מספרים עשרוניים מיוצגים בצורה בינארית להלן.

כמו כן משמש אוקטלי, ומערכת מספור הקסדצימלי.

האריתמטיקה מסתורי זה

מהי אריתמטיקה, "שתיים ועוד שתיים" או תעלומות שלא נחקרו של מספרים? כפי שניתן לראות, חשבון, יכול, וזה נראה במבט הראשון פשוט, אבל זה לא קל מטעה ברור. אפשר ללמוד ילדים, ויחד עם דודה ינשוף מן הסרט המצויר "אריתמטיקה-תינוק", ואתה יכול לצלול לתוך המחקר המדעי העמוק כמעט סדר פילוסופי. בהיסטוריה זה נעלם לספור חפצים כדי לסגוד את היופי של מספרים. דבר אחד בטוח: עם קום הפוסטולייטים הבסיסיים של האריתמטיקה, כל המדע יכול להסתמך על כתף החזק שלה.